Trasformata di laplace inversa
Salve ragazzi, stavo risolvendo alcuni esercizi riguardo l'esame di complementi di metodi e modelli matematici per la fisica, quando ad un certo punto mi sono bloccato su un esercizio: mi si richiede di calcolare la soluzione di un problema di Cauchy tramite trasformata di Laplace:
$ x'' + 3x = e^{-t}$ con condizioni iniziali $x(0)=b$ $x'(0)=0$ e di determinare il valore di $b$ per cui $x(1)=1$.
La mia strategia è stata quella di applicare alla lettera la regola della trasformata di Laplace della derivata, in modo da ottenere una normale equazione algebrica nella variabile $s$. Ciò che ottengo è:
$L(f) = \frac{1}{(s^2 + 3)(s+1)^2} - \frac{b}{s^2 +3} $
Ora devo antitrasformare ed avrei la soluzione. Ma è proprio questo il punto. Per non fare un integrale complesso del genere (ci ho provato e ho sbagliato i conti 100 volte) la mia idea era di scomporre in fratti semplici la prima frazione, per poi vedere sulle tabelle delle trasformate note se c'era qualcosa che poteva somigliargli e manipolare tali espressioni per condurmi ad uno di quei casi. Mi potete aiutare a sviluppare in fratti semplici $\frac{1}{(s^2 + 3)(s+1)^2}$ per favore?
Grazie mille a tutti, spero in un aiuto!
$ x'' + 3x = e^{-t}$ con condizioni iniziali $x(0)=b$ $x'(0)=0$ e di determinare il valore di $b$ per cui $x(1)=1$.
La mia strategia è stata quella di applicare alla lettera la regola della trasformata di Laplace della derivata, in modo da ottenere una normale equazione algebrica nella variabile $s$. Ciò che ottengo è:
$L(f) = \frac{1}{(s^2 + 3)(s+1)^2} - \frac{b}{s^2 +3} $
Ora devo antitrasformare ed avrei la soluzione. Ma è proprio questo il punto. Per non fare un integrale complesso del genere (ci ho provato e ho sbagliato i conti 100 volte) la mia idea era di scomporre in fratti semplici la prima frazione, per poi vedere sulle tabelle delle trasformate note se c'era qualcosa che poteva somigliargli e manipolare tali espressioni per condurmi ad uno di quei casi. Mi potete aiutare a sviluppare in fratti semplici $\frac{1}{(s^2 + 3)(s+1)^2}$ per favore?
Grazie mille a tutti, spero in un aiuto!
Risposte
Devi decomporlo così:
${As+B}/{s^2+3}+C/{s+1}+D/{(s+1)^2}$
${As+B}/{s^2+3}+C/{s+1}+D/{(s+1)^2}$
Grazie mille, cosi funziona! Tuttavia ora vorrei capire: su che base hai capito che la scomposizione giusta era questa? Almeno se dovesse ricapitarmi un caso simile saprei gia cosa fare per perdere il minor tempo possibile!
Altra questione: con i fratti semplici, anche se fossi costretto per un qualsiasi motivo a fare l'integrale complesso, sarebbe molto più semplice da risolvere!
Altra questione: con i fratti semplici, anche se fossi costretto per un qualsiasi motivo a fare l'integrale complesso, sarebbe molto più semplice da risolvere!
Non è che l'ho capito: si tratta della decomposizione di hermite che si usa anche per risolvere gli integrali di funzioni razionali fratte. Ti scrivo rapidamente le regole: supponiamo di avere una frazione con, al denominatore, un polinomio $Q(x)$ che si decompone in prodotti di polinomi delle due forme seguenti: $(x-\alpha)^n$, $(x^2+px+q)^m$, dove $n\ge 1,\ m\ge 1$. Allora in generale la tua funzione si decompone in somme di termini di questo tipo
$\frac{A_j}{(x-\alpha)^j}$ con $1\le j\le n$
$\frac{A_k x+B_k}{(x^2+px+q)^k}$ con $1\le k\le m$.
$\frac{A_j}{(x-\alpha)^j}$ con $1\le j\le n$
$\frac{A_k x+B_k}{(x^2+px+q)^k}$ con $1\le k\le m$.
Grazie mille ciampax, ora mi è chiaro tutto, facendo delle ricerche sul forum ho trovato questo post viewtopic.php?t=49837&p=377164
che trattava proprio questo tipo di scomposizione, cosi ho visto bene da un esempio come funziona! Grazie mille!
che trattava proprio questo tipo di scomposizione, cosi ho visto bene da un esempio come funziona! Grazie mille!
Sì, ce ne sono vari: ce ne è anche uno mio di qualche anno fa dove scrivevo tutti i casi e i metodi di determinazione dei coefficienti, in seguito ad alcune richieste... ma adesso vallo a ripescare!
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