Trasformata di Laplace e numeri armonici
Ho visto che ultimamente sono stati postati parecchi esercizi sulle trasformate, allora ne posto uno anche io, ammetto che non sarà proprio un esercizio standard ma riguarda lo stesso le trasformate.
Sia $H_n$ l' $n-$esimo numero armonico (con convenzione $H_0=0$), denotiamo con $[x]$ la parte intera di $x$.
Dimostrare che
$L{H_([x])} (s) = -(ln(1-e^-s))/s$
dove $L$ è la trasformata unilatera di Laplace.
Ciao!
Sia $H_n$ l' $n-$esimo numero armonico (con convenzione $H_0=0$), denotiamo con $[x]$ la parte intera di $x$.
Dimostrare che
$L{H_([x])} (s) = -(ln(1-e^-s))/s$
dove $L$ è la trasformata unilatera di Laplace.
Ciao!
Risposte
ma x cos'è? un numero razionale? irrazionale? cosa?
"Kroldar":
ma x cos'è? un numero razionale? irrazionale? cosa?
Ricorda che la trasformata $L$ agisce sulle funzioni, si può scrivere ad esempio $L{x^2}(s)$ o $L{e^x}(s)$, quindi
$L{H_([x])}(s)$ non è altro che la trasformata di Laplace di $H_([x])$ nel punto $s$.
Ciao!
Ti ringrazio per l'interessante lezione sulla trasformata di Laplace... tuttavia non mi pare di aver letto una risposta alla mia domanda
"Kroldar":
Ti ringrazio per l'interessante lezione sulla trasformata di Laplace... tuttavia non mi pare di aver letto una risposta alla mia domanda
Senti facciamo così, il mio quesito è equivalente a
$int_0^infty e^(-sx) H_([x]) dx =- (ln(1-e^-s))/s$ per $|s|>1$
Ciao!
Io ci ho tentato... e il risultato sembra "parente" di quello da dimostrare...Magari mi sfugge qualche altro passaggio...
Ti posto quello che son riuscito a fare, così magari mi dai qualche suggerimento ( e mi dici se sono fuori strada...)
Il numeri armonici sono definiti, come :
$sum(1/t)$ con t da 1 a n, giusto ?
Visto che
$L{log(n)}=- (log(n)+gamma )/s$ con $gamma$ costante di Eulero-Mascheroni.
Applicando la proprietà di derivazione di Laplace si ha :
$L{df(t)/dt}=s*L{f(t)}$ e quindi $L{1/t}=s*(- (log(t)+gamma )/s)=- (log(t)+gamma )$
In generale i numeri armonici possono essere visti come somme del tipo :
$sum(1/(t+k))$ con k da 1 a n
Pertanto per la linearità della trasformata e per la proprietà di traslazione in t, si ha che :
$L{H_n}=sum(e^(-sk)* (- (log(t)+gamma )))$
Portando fuori dalla sommatoria $(- (log(t)+gamma ))$ la sommatoria è una somma parziale di una serie geometrica di ragione $e^-s$ che va da 1 a n. Pertanto vale $e^(-sn)/(1-e^(-s))$
Alla fine mi esce :
$e^(-sn)/(1-e^(-s))*(ln(s)+gamma)$
Dove ho sbagliato ?(spero almeno di essere stato meno contorto del solito...)
Ti posto quello che son riuscito a fare, così magari mi dai qualche suggerimento ( e mi dici se sono fuori strada...)
Il numeri armonici sono definiti, come :
$sum(1/t)$ con t da 1 a n, giusto ?
Visto che
$L{log(n)}=- (log(n)+gamma )/s$ con $gamma$ costante di Eulero-Mascheroni.
Applicando la proprietà di derivazione di Laplace si ha :
$L{df(t)/dt}=s*L{f(t)}$ e quindi $L{1/t}=s*(- (log(t)+gamma )/s)=- (log(t)+gamma )$
In generale i numeri armonici possono essere visti come somme del tipo :
$sum(1/(t+k))$ con k da 1 a n
Pertanto per la linearità della trasformata e per la proprietà di traslazione in t, si ha che :
$L{H_n}=sum(e^(-sk)* (- (log(t)+gamma )))$
Portando fuori dalla sommatoria $(- (log(t)+gamma ))$ la sommatoria è una somma parziale di una serie geometrica di ragione $e^-s$ che va da 1 a n. Pertanto vale $e^(-sn)/(1-e^(-s))$
Alla fine mi esce :
$e^(-sn)/(1-e^(-s))*(ln(s)+gamma)$
Dove ho sbagliato ?(spero almeno di essere stato meno contorto del solito...)
"spassky":
Io ci ho tentato... e il risultato sembra "parente" di quello da dimostrare...Magari mi sfugge qualche altro passaggio...
Dove ho sbagliato ?(spero almeno di essere stato meno contorto del solito...)
Non sei stato affatto contorto, credo che però tu abbia applicato in modo improprio la proprietà di derivazione di Laplace, controlla forse non è soddisfatta qualche condizione necessaria. Comunque io ho dimostrato quel risultato senza ricorrere a proprietà e regole particolari della trasformata di Laplace, semmai posto la mia dimostrazione, aspetto solo un pò di tempo magari qualcuno lo risolve...
Ciao!
E si...andrò a controllare, ma mi sa che mi sono "mangiato" il teorema del valore iniziale....
"spassky":
E si...andrò a controllare, ma mi sa che mi sono "mangiato" il teorema del valore iniziale....
Vabbeh, intanto posto la mia dimostrazione.
Dallo sviluppo in serie di Maclaurin di $ln(1+x)$ abbiamo che
$-ln(1-e^-s)=sum_(n=1)^infty e^(-sn) 1/n$
dalla definizione dei numeri armonici abbiamo che $1/n=H_n-H_(n-1)$ da cui
$-ln(1-e^-s)=sum_(n=1)^infty e^(-sn) (H_n-H_(n-1))=sum_(n=1)^infty H_n (e^(-sn)-e^(s(n+1)))$
dove l'ultima serie si ottiene riordinando e ricordando che $H_0=0$. Ora abbiamo che
$int_n^(n+1)e^(-st)dt= (e^(-sn)-e^(s(n+1)))/s$
da cui
$-(ln(1-e^-s))/s=sum_(n=1)^infty H_n int_n^(n+1)e^(-st)dt$
adesso non resta che notare che $H_n int_n^(n+1)e^(-st)dt=int_n^(n+1) e^(-st)H_([n])dt$ poichè $H_([n])$ è costante nell'intevallo $[n,n+1[$ è l'estremo di integrale da un contributo nullo. Quindi
$-(ln(1-e^-s))/s= int_1^infty e^(-st) H_([n])dt= int_0^infty e^(-st) H_([n])dt=L{H_([n])}(s)$
Ciao!
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