Trasformata di Laplace di una funzione periodica

[lucamennoia]

Ho un esercizio sulla trasformata di Laplace di una funzione periodica e son convinto di aver fatto tutto in modo giusto ma evidentemente non ho ben interpretato la traccia in quanto la soluzione dell'esercizio proposto non è come quella da me trovata.

Ecco la traccia con il risultato atteso:


Qui il mio svolgimento:
http://imageshack.us/photo/my-images/18 ... imento.jpg

Io ottengo come risultato \(\displaystyle \frac{1}{s^2(1-e^{-2\pi s})} \) mentre il risultato atteso dev'essere quello indicato tra parentesi nella traccia.
Del mio svolgimento sono abbastanza certo perciò a maggior ragione c'è qualcosa che mi sfugge della traccia. Quella F(t) non mi convince ma non saprei come altro interpretarla.

[gugo82]

Il risultato che ottieni è sbagliatissimo, perchè non stai applicando bene la regola per il calcolo della trasformata di un segnale periodico.

Il risultato del libro non l'ho controllato, però.

[lucamennoia]

E' vero, ho controllato meglio adesso, purtroppo ieri sera ero stanco e mi vergogno di ciò che ho scritto, non dovrei postare in certi momenti! Comunque ho rifatto i conti ed effettivamente la funzione nel grafico ristretta al periodo vale:

\(\displaystyle f_{[0,2\pi]}(t)=\frac{1}{2\pi} t\cdot 1(t) - \frac{1}{2\pi} t\cdot 1(t-2\pi) - 1(t-2\pi) \)

ed ha trasformata:

\(\displaystyle F_{[0,2\pi]}(s)=\frac{1}{2\pi s^2}-\frac{e^{-2\pi s}}{2\pi s^2}-\frac{e^{-2\pi s}}{s} = \frac{1-e^{-2\pi s}- 2\pi se^{-2\pi s}}{2\pi s^2} \)

per la proprietà della trasformata della funzione periodica ottengo:

\(\displaystyle F_{2\pi}(s)=\frac{1-e^{-2\pi s}-2\pi e^{-2\pi s}}{2\pi s^2 (1-e^{-2\pi s})}=\frac{1-e^{-2\pi s}-2\pi e^{-2\pi s}}{2\pi s^2 (1-e^{-2\pi s})}\cdot \frac{e^{2\pi s}}{e^{2\pi s}}=\frac{e^{2\pi s}-1-2\pi s}{2\pi s^2(e^{2\pi s}-1)} \)

se non fosse per quella costante al denominatore avrei finito. Cosa mi è sfuggito stavolta?