Trasformata di Laplace di un integrale.
Ciao, ho qualche dubbio sullo svolgimento di una trasformata di Laplace di un integrale. Vi posto il testo:
\(\displaystyle \mathcal{L}[\int_{0}^{x} y(x-t)\cos(2t)dt] \)
Dalla tabella delle trasformate so che: \(\displaystyle \mathcal{L}[ \int_{0}^{t} f(x) dx] = \frac{F(s)}{s}\)
Quindi devo fare la trasformata dell'integranda.
Il testo, però, sembra molto simile alla definizione di prodotto di convoluzione: \(\displaystyle (f \ast g) = \int_{0}^{t} f(t-\tau)g(\tau) d\tau \)
So dal teorema della convoluzione che la trasformata di un prodotto di convoluzione è il prodotto delle singole trasformate. A questo punto se volessi il prodotto di convoluzione allora dovrei antitrasformare (ma qui non credo serva).
Se usassi la definizione di trasformata di Laplace dovrebbe venire un integrale doppio che il più delle volte non è calcolabile in pochi minuti e farebbe perdere del tempo.
Il problema è che forse non è corretto nemmeno fare le trasformate delle singole funzioni e poi moltiplicarle, perchè in questo caso non verrebbe.
Sapreste suggerirmi il metodo per svolgere queste tipologie di trasformate? Sono un po' confuso...
Grazie in anticipo.
\(\displaystyle \mathcal{L}[\int_{0}^{x} y(x-t)\cos(2t)dt] \)
Dalla tabella delle trasformate so che: \(\displaystyle \mathcal{L}[ \int_{0}^{t} f(x) dx] = \frac{F(s)}{s}\)
Quindi devo fare la trasformata dell'integranda.
Il testo, però, sembra molto simile alla definizione di prodotto di convoluzione: \(\displaystyle (f \ast g) = \int_{0}^{t} f(t-\tau)g(\tau) d\tau \)
So dal teorema della convoluzione che la trasformata di un prodotto di convoluzione è il prodotto delle singole trasformate. A questo punto se volessi il prodotto di convoluzione allora dovrei antitrasformare (ma qui non credo serva).
Se usassi la definizione di trasformata di Laplace dovrebbe venire un integrale doppio che il più delle volte non è calcolabile in pochi minuti e farebbe perdere del tempo.
Il problema è che forse non è corretto nemmeno fare le trasformate delle singole funzioni e poi moltiplicarle, perchè in questo caso non verrebbe.
Sapreste suggerirmi il metodo per svolgere queste tipologie di trasformate? Sono un po' confuso...
Grazie in anticipo.
Risposte
Dovrebbe risolversi col prodotto di convoluzione:
\(\displaystyle \mathcal{L} [y(t)] \ast \mathcal{L}[\cos(2t)] = Y \frac{s}{s+4} \)
Grazie.
\(\displaystyle \mathcal{L} [y(t)] \ast \mathcal{L}[\cos(2t)] = Y \frac{s}{s+4} \)
Grazie.
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