Trasformata di laplace
devo calcolare la trasformata di laplace della seguente funzione
http://img218.imageshack.us/my.php?imag ... inelw8.jpg
che ha per trasformata
ln(s-2)-1/2*ln(s^2+1)+C
come faccio a ricavare la C?
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che ha per trasformata
ln(s-2)-1/2*ln(s^2+1)+C
come faccio a ricavare la C?
Risposte
Ciao,
ma perchè devi calcolare la C?
Io non mi intendo molto, e probabilmente avrai ragione tu, ma l'integrale che trasforma una funzione della variabile t ad una funzione di variabile s (funzione trasformata), è un integrale tra 0 e inf, quindi il termine complementare C non c'è!
ma perchè devi calcolare la C?
Io non mi intendo molto, e probabilmente avrai ragione tu, ma l'integrale che trasforma una funzione della variabile t ad una funzione di variabile s (funzione trasformata), è un integrale tra 0 e inf, quindi il termine complementare C non c'è!
devo calcolare la C, perchè ad una funzione verrebbe associate infinite trasformate....
Ma C è una costante? Avere una costante nel dominio di Laplace significa avere una delta di Dirac nel dominio del tempo, e di delte non ne vedo nessuna... Magari mi sbaglio...
Ma la trasformata di Laplace è un integrale definito (in generale tra -oo e +oo per la trasformata bilatera e tra 0 e +oo per la monolatera), per cui la costante C non ha senso di esistere
Personalmente, per trasformata di Laplace, ho sempre usato questa definizione:
$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0^{-}}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$
In questo modo risulta: $\mathcal{L}\{C \cdot \delta(t)\}=C$ con $C$ costante.
Infatti: $\mathcal{L}\{C \cdot \delta(t)\}=\int_{0^{-}}^{+\infty}C\delta(t)e^{-st}dt$.
Dato che $f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)$ e $\int_{0^{-}}^{+\infty}\delta(t)dt=1$ si ottiene:
$\mathcal{L}\{C \cdot \delta(t)\}=\int_{0^{-}}^{+\infty}C\delta(t)e^{-st}dt=C\int_{0^{-}}^{+\infty}\delta(t)dt=C$
$\mathcal{L}\{f(t)\}=F(s)=\int_{0^{-}}^{+\infty}f(t)e^{-st}dt$
In questo modo risulta: $\mathcal{L}\{C \cdot \delta(t)\}=C$ con $C$ costante.
Infatti: $\mathcal{L}\{C \cdot \delta(t)\}=\int_{0^{-}}^{+\infty}C\delta(t)e^{-st}dt$.
Dato che $f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t)$ e $\int_{0^{-}}^{+\infty}\delta(t)dt=1$ si ottiene:
$\mathcal{L}\{C \cdot \delta(t)\}=\int_{0^{-}}^{+\infty}C\delta(t)e^{-st}dt=C\int_{0^{-}}^{+\infty}\delta(t)dt=C$
ragazzi, voi ne saprete sicuramente meglio di me. Però il mio professore ha detto che la divisione per t di una funzione, si trasforma in un integrale indefinito e lui negli esercizi svolti a lezione calcola la C. Non so se sono stato più chiaro...
Se l'ha detto il professore sarà sicuramente così, a questo punto ammetto la mia ignoranza.
Il problema posto da serbring [anche se in maniera un poco imprecisa…] è assai istruttivo. Intanto è bene ricordare una delle proprietà meno note ma più utili della Trasformata di Laplace, quello della ‘divisione per $t$’. Il relativo teorema recita testualmente così…
Se $L[f(t)]=gamma(s)$ allora è
$L[f(t)/t]= int_s^(+oo) gamma(u)*du$ (1)
… a condizione però che tale integrale esista
Chiaramente l’ultima affermazione non è senza conseguenze pratiche e l’esempio specifico ce lo conferma. La funzione di cui si chiede di calcolare la trasformata è la seguente…
$g(t)= (e^(2*t)-cos t)/t$ (2)
L’approccio spontaneo consisterebbe nel porre…
$g(t)= e^(2*t)/t- cos t/t$ (3)
... e calcolare i due contributi separatamente. Ponendo $f(t)=e^(2*t)$ si ha $gamma(s)=1/(s-2)$ per cui…
$int_s^(+oo) 1/(u-2) * du= | ln (u-2)|_s^(+oo) = -ln (s-2) + lim_(u->+oo) ln (u-2)$ (4)
E’ immediato verificare che in questo caso non si è in grado di applicare il citato teorema in quanto l’integrale diverge. Ponendo $f(t)=-cos t$ si ha $gamma(s)=(-s)/(s^2+1)$ per cui…
$int_s^(+oo) –u/(u^2+1)*du= |-1/2*ln (u^2+1)|_s^(+oo)= ln sqrt(s^2+1) – lim_(u->+oo) ln sqrt (u^2+1)$ (5)
Anche in questo caso dunque l’integrale diverge e sembra pertanto che non siamo in grado di venire a capo del problema. Senza lasciarsi andare alla disperazione facciamo finta di nulla, sommiamo i due contributi… e vediamo un po’ che cosa salta fuori
…
$L[(e^(2*t)-cos t)/t]= ln (sqrt(s^2+1)/(s-2)) - lim_(u->+oo) ln (sqrt(u^2+1)/(u-2))$ (6)
E’ immediato constatare che la fantomatica 'costante $C$’ del problema coincide con il limite che compare nella (6). Altrettanto immediato è poi constatare che il limite dell’argomento del logaritmo vale $1$ per cui il logaritmo vale $0$ ed è quindi $C=0$. In definitiva…
$L[(e^(2*t)-cos t)/t]= ln (sqrt(s^2+1)/(s-2))$ (7)
Un problemino davvero interessante!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Se $L[f(t)]=gamma(s)$ allora è
$L[f(t)/t]= int_s^(+oo) gamma(u)*du$ (1)
… a condizione però che tale integrale esista
Chiaramente l’ultima affermazione non è senza conseguenze pratiche e l’esempio specifico ce lo conferma. La funzione di cui si chiede di calcolare la trasformata è la seguente…
$g(t)= (e^(2*t)-cos t)/t$ (2)
L’approccio spontaneo consisterebbe nel porre…
$g(t)= e^(2*t)/t- cos t/t$ (3)
... e calcolare i due contributi separatamente. Ponendo $f(t)=e^(2*t)$ si ha $gamma(s)=1/(s-2)$ per cui…
$int_s^(+oo) 1/(u-2) * du= | ln (u-2)|_s^(+oo) = -ln (s-2) + lim_(u->+oo) ln (u-2)$ (4)
E’ immediato verificare che in questo caso non si è in grado di applicare il citato teorema in quanto l’integrale diverge. Ponendo $f(t)=-cos t$ si ha $gamma(s)=(-s)/(s^2+1)$ per cui…
$int_s^(+oo) –u/(u^2+1)*du= |-1/2*ln (u^2+1)|_s^(+oo)= ln sqrt(s^2+1) – lim_(u->+oo) ln sqrt (u^2+1)$ (5)
Anche in questo caso dunque l’integrale diverge e sembra pertanto che non siamo in grado di venire a capo del problema. Senza lasciarsi andare alla disperazione facciamo finta di nulla, sommiamo i due contributi… e vediamo un po’ che cosa salta fuori
… $L[(e^(2*t)-cos t)/t]= ln (sqrt(s^2+1)/(s-2)) - lim_(u->+oo) ln (sqrt(u^2+1)/(u-2))$ (6)
E’ immediato constatare che la fantomatica 'costante $C$’ del problema coincide con il limite che compare nella (6). Altrettanto immediato è poi constatare che il limite dell’argomento del logaritmo vale $1$ per cui il logaritmo vale $0$ ed è quindi $C=0$. In definitiva…
$L[(e^(2*t)-cos t)/t]= ln (sqrt(s^2+1)/(s-2))$ (7)
Un problemino davvero interessante!…
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
ciao lupo...in effetti la domanda è veramente mal posta, e me ne scuso. Scusami per l'ignoranza, ma non'ho capito il perchè la costante C è uguale a quel limite lì..
Per ipotesi la funzione di cui si vuol calcolare la trasformata è a sua volta somma di due funzioni...
$g(t)= e^(2*t)/t-cos t/t$ (1)
... a ciascuna delle quali può essere applicato il teorema della 'divisione per $t$', il quale afferma che se $L[f(t)]=gamma (s)$ allora è...
$L[f(t)/t]= int_s^(+oo) gamma (u)*du$ (2)
Se $Gamma(u)$ è una qualunque primitiva di $gamma(u)$, per definizione è...
$int_s^(+oo) gamma(u)*du = -Gamma(s)+lim_(u->+oo) Gamma(u)$ (3)
Se nella (2) inserisci $f(t)= e^(2*t)-cos t$ e svolgi i calcoli con cura, non avrai difficoltà a trovare il risultato...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
$g(t)= e^(2*t)/t-cos t/t$ (1)
... a ciascuna delle quali può essere applicato il teorema della 'divisione per $t$', il quale afferma che se $L[f(t)]=gamma (s)$ allora è...
$L[f(t)/t]= int_s^(+oo) gamma (u)*du$ (2)
Se $Gamma(u)$ è una qualunque primitiva di $gamma(u)$, per definizione è...
$int_s^(+oo) gamma(u)*du = -Gamma(s)+lim_(u->+oo) Gamma(u)$ (3)
Se nella (2) inserisci $f(t)= e^(2*t)-cos t$ e svolgi i calcoli con cura, non avrai difficoltà a trovare il risultato...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
tutto chiaro...grazie tante...
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