Trasformata di hilbert del treno di impulsi
Salve, volevo chiedervi aiuto per risolvere questo mio dubbio.
Per la risoluzione di un esercizio mi sono trovato a dover trasformare con la trasformata di hilbert un treno di impulsi così definito $ sum_(i = 1)^(N) a_i delta ( t - tau_i) $.
Ora io so che la trasformata di hilbert di $ delta $ è $ 1/( pi t ) $.
Ma come mi devo comportare con il treno di impulsi, soprattutto se è traslato? Non ho trovato nessun esempio su internet e mi sono bloccato a questo.
Per completezza riporto che la traccia dell'esercizio chiedeva di trovare la risposta di un sistema reale con risposta impulsiva il treno di impulsi $ sum_(i = 1)^(N) a_i delta ( t - tau_i) $ e un segnale $ x(t) $ usando gli inviluppi complessi.
Questi tipi di esercizi li so risolvere, ma mi sono trovato in dubbio su come trasformare il treno di impulsi.
Grazie e scusate il disturbo.
Per la risoluzione di un esercizio mi sono trovato a dover trasformare con la trasformata di hilbert un treno di impulsi così definito $ sum_(i = 1)^(N) a_i delta ( t - tau_i) $.
Ora io so che la trasformata di hilbert di $ delta $ è $ 1/( pi t ) $.
Ma come mi devo comportare con il treno di impulsi, soprattutto se è traslato? Non ho trovato nessun esempio su internet e mi sono bloccato a questo.
Per completezza riporto che la traccia dell'esercizio chiedeva di trovare la risposta di un sistema reale con risposta impulsiva il treno di impulsi $ sum_(i = 1)^(N) a_i delta ( t - tau_i) $ e un segnale $ x(t) $ usando gli inviluppi complessi.
Questi tipi di esercizi li so risolvere, ma mi sono trovato in dubbio su come trasformare il treno di impulsi.
Grazie e scusate il disturbo.
Risposte
La funzione di trasferimento di Hilbert è:
$H(f)={(-j,f>0),(+j,f<0):}$
Detta $x(t)$ la funzione relativa al treno di impulsi, la trasformata di Hilbert del sistema sarà $X(f)*H(f)$.
Essendo $x(t)=\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(t-k\tau)$, si ha che $X(f)=1/\tau\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(f-k/\tau)$.
Quindi, detta $Y(f)$ la risposta totale del sistema, si ha:
$Y(f)=X(f)*H(f)=1/\tau\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(f-k/\tau)*{(-j,f>0),(+j,f<0):}$.
In definitiva: $Y(f)={(e^(-j\pi/2)/\tau\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(f-k/\tau),f>0),(e^(j\pi/2)/\tau\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(f-k/\tau),f<0):}$.
In generale quindi, se i coefficienti $c_k$ sono complessi la risposta in frequenza del sistema sarà anch'essa complessa (considerando la trasformata di Hilbert).
$H(f)={(-j,f>0),(+j,f<0):}$
Detta $x(t)$ la funzione relativa al treno di impulsi, la trasformata di Hilbert del sistema sarà $X(f)*H(f)$.
Essendo $x(t)=\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(t-k\tau)$, si ha che $X(f)=1/\tau\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(f-k/\tau)$.
Quindi, detta $Y(f)$ la risposta totale del sistema, si ha:
$Y(f)=X(f)*H(f)=1/\tau\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(f-k/\tau)*{(-j,f>0),(+j,f<0):}$.
In definitiva: $Y(f)={(e^(-j\pi/2)/\tau\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(f-k/\tau),f>0),(e^(j\pi/2)/\tau\sum_{k=-\infty}^(+\infty) c_k\delta(f-k/\tau),f<0):}$.
In generale quindi, se i coefficienti $c_k$ sono complessi la risposta in frequenza del sistema sarà anch'essa complessa (considerando la trasformata di Hilbert).
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