Trasformata di Fourier: trovare x(t)
Salve a tutti,
Ho per le mani il seguente problema:
Calcolare il valore del segnale x(t), il cui spettro è indicato in figura (vedere sotto), al tempo t=2/W.
Qualcuno che ci capisce qcs può intanto aiutarmi a scrivere $ X(f)= |X(f)| e^{j \Phi(f)}$.
Come scrivo |X(f)| e Φ(f), risp.mente modulo e fase di X(f)? Per favore, non so come fare ed è importante.
Ho per le mani il seguente problema:
Calcolare il valore del segnale x(t), il cui spettro è indicato in figura (vedere sotto), al tempo t=2/W.
Qualcuno che ci capisce qcs può intanto aiutarmi a scrivere $ X(f)= |X(f)| e^{j \Phi(f)}$.
Come scrivo |X(f)| e Φ(f), risp.mente modulo e fase di X(f)? Per favore, non so come fare ed è importante.
Risposte
Ciao...
io avevo pensato questo...
Visto che ho a che fare con un segnale che è composto essenzialmente da due parti disgiunte (sia per il modulo che per la fase) abbiamo:
$|X(f)|=rect((f-4W)/(4W))*(-1/16f+3/8W) + rect((f+4W)/(4W))*(1/16f+3/8W)$
Mentre la fase è:
$phi(f)=rect((f-4W)/(4W))*(-pi/(48*W)f) + rect((f+4W)/(4W)) * (-pi/(48*W)f)$
Ora sfruttando il fatto che il segnale è separato in due intervalli disgiunti, possiamo rappresentare il segnale $X(f)$ come:
$X(f)=|X_1(f)|*e^(i(phi_1(f)))*rect((f-9/2W)/(4W)) + |X_2(f)|*e^(i(phi_2(f)))*rect((f+9/(2W))/4)$
dove con $|X_1(f)|$ mi riferisco al primo addendo di $|X(f)|$ (e in maniera analoga per $|X_2(f)|$), mentre con $phi_1(f)$ (e in maniera analoga per $phi_2(f)$) mi rifrisco al secondo addendo di $phi(f)$.
Ribadisco che ho potuto rappresentare il segnale come somma di due segnali perchè mi trovo in presenza di intervalli disgiunti.
Quindi riscrivendo il tutto, otterremo:
$X(f)=(-1/16f+3/8W) * e^(i*-pi/(48*W)f) * rect((f-4W)/(4W)) + (1/16f+3/8W) * e^(i*-pi/(48*W)f) * rect((f+4W)/(4W))$.
Che può eseere scritta come:
$X(f)= e^(i*-pi/(48*W)f) * (1/16f * rect((f-4W)/(4W)) -1/16f * rect((f+4W)/(4W)) + 3/8*(rect((f-4W)/(4W)) + rect((f+4W)/(4W))) )$
Ora per il calcolo dell'anti-trasformata utilizzi il fatto che nei due membri è presente uun esponenziale (che corrisponde a una traslazione nel tempo), e non resta che risolveri l'integrali con la finestra di dimensione 4.
Il segnale risultante dovrebbe essere un segale reale visto che la trasformata aveva simmetria Hermitiana.
io avevo pensato questo...
Visto che ho a che fare con un segnale che è composto essenzialmente da due parti disgiunte (sia per il modulo che per la fase) abbiamo:
$|X(f)|=rect((f-4W)/(4W))*(-1/16f+3/8W) + rect((f+4W)/(4W))*(1/16f+3/8W)$
Mentre la fase è:
$phi(f)=rect((f-4W)/(4W))*(-pi/(48*W)f) + rect((f+4W)/(4W)) * (-pi/(48*W)f)$
Ora sfruttando il fatto che il segnale è separato in due intervalli disgiunti, possiamo rappresentare il segnale $X(f)$ come:
$X(f)=|X_1(f)|*e^(i(phi_1(f)))*rect((f-9/2W)/(4W)) + |X_2(f)|*e^(i(phi_2(f)))*rect((f+9/(2W))/4)$
dove con $|X_1(f)|$ mi riferisco al primo addendo di $|X(f)|$ (e in maniera analoga per $|X_2(f)|$), mentre con $phi_1(f)$ (e in maniera analoga per $phi_2(f)$) mi rifrisco al secondo addendo di $phi(f)$.
Ribadisco che ho potuto rappresentare il segnale come somma di due segnali perchè mi trovo in presenza di intervalli disgiunti.
Quindi riscrivendo il tutto, otterremo:
$X(f)=(-1/16f+3/8W) * e^(i*-pi/(48*W)f) * rect((f-4W)/(4W)) + (1/16f+3/8W) * e^(i*-pi/(48*W)f) * rect((f+4W)/(4W))$.
Che può eseere scritta come:
$X(f)= e^(i*-pi/(48*W)f) * (1/16f * rect((f-4W)/(4W)) -1/16f * rect((f+4W)/(4W)) + 3/8*(rect((f-4W)/(4W)) + rect((f+4W)/(4W))) )$
Ora per il calcolo dell'anti-trasformata utilizzi il fatto che nei due membri è presente uun esponenziale (che corrisponde a una traslazione nel tempo), e non resta che risolveri l'integrali con la finestra di dimensione 4.
Il segnale risultante dovrebbe essere un segale reale visto che la trasformata aveva simmetria Hermitiana.
Grazie di essere intervenuto clrscr.
Per il modulo avevo pensato a
$|X(f)|= 1/16 f \text{ }rect_{4W}(f+4W) - 1/16 f \text{ } rect_{4W}(f-4W)$
dove $\pm 1/16$ è il coeff angolare delle due rette e il pedice di rect indica la durata della finestra rect; il $\pm 4W$ all'interno delle parentesi tonde del rect, indica dove è centrato il rect.
Per quanto riguarda la fase, ho dei dubbi riguardo a come l'hai scritta tu anche se io brancolo ancora nel buio. Credo però che non si scriva con il rect.
Qualcun altro può aiutarmi? non so come fare...
Per il modulo avevo pensato a
$|X(f)|= 1/16 f \text{ }rect_{4W}(f+4W) - 1/16 f \text{ } rect_{4W}(f-4W)$
dove $\pm 1/16$ è il coeff angolare delle due rette e il pedice di rect indica la durata della finestra rect; il $\pm 4W$ all'interno delle parentesi tonde del rect, indica dove è centrato il rect.
Per quanto riguarda la fase, ho dei dubbi riguardo a come l'hai scritta tu anche se io brancolo ancora nel buio. Credo però che non si scriva con il rect.
Qualcun altro può aiutarmi? non so come fare...
Ma scusa, il grafico della fase è la retta di eq $-pi/(12*6)*f$ presa negli intervalli $[-6W,-2W]$ e $[2W,6W]$. Tu come la scriveresti?
"hastings":
io brancolo ancora nel buio.
Credevo che avesse qcs a che fare con $tg^{-1}...$
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