Trasformata di Fourier tramite distribuzioni temperate

[goron1]

Salve, sto cercando di capire cosa significa calcolare la trasformata di Fourier della funzione $f(x)=x$ utilizzando le distribuzioni temperate.

Per prima cosa ho mostrato che la funzione non è sommabile:
$\int_{-\infty}^{\+infty} |x| dx = \infty $
Tuttavia è localmente sommabile perchè è sommabile su ogni compatto di $RR$, infatti (correggetemi se sbaglio):
$\int_{x_0-a}^{x_0+a} |x| dx = 2x_0, AA a>0 , AA x_0 in RR $

Sfruttando l'analisi complessa sarebbe facile, ma con le distribuzioni temperate dovrei utilizzare in qualche modo la relazione:
$ = AA phi$ funzione regolare a decrescenza rapida, con $T(y)$ trasformata di Fourier.

Mi sapreste dare una mano con lo svolgimento? Non ho ben chiaro come utilizzare la funzione $phi$. Grazie.

[gugo82]

"goron":Tuttavia è localmente sommabile perchè è sommabile su ogni compatto di $RR$, infatti (correggetemi se sbaglio):
$\int_{x_0-a}^{x_0+a} |x|" d"x = 2x_0, AA a>0 , AA x_0 in RR $

Qui starei più attento, che quell'integrale mi pare venga abbastanza diverso... Ti pare?

Per concludere la locale sommabilità di $|x|$ occorre e basta notare che $C(RR) \subseteq L_(loc)^1(RR)$ e che $|x|$ è continua.

Per quanto riguarda il "vero" problema del tuo post, non sono un esperto e perciò lascio la palla a chi ne sa più di me.

[goron1]

"Gugo82":
Qui starei più attento, che quell'integrale mi pare venga abbastanza diverso... Ti pare?

Per concludere la locale sommabilità di $|x|$ occorre e basta notare che $C(RR) \subseteq L_(loc)^1(RR)$ e che $|x|$ è continua.

Per quanto riguarda il "vero" problema del tuo post, non sono un esperto e perciò lascio la palla a chi ne sa più di me.

Forse sbaglio, l'ho risolto così:
$\int_{x_0-a}^{x_0+a} |x| "d"x = - \int_{x_0-a}^{0} x "d"x + \int_{0}^{x_0+a} x "d"x = -(0-x_0+a) + (x_0 +a - 0)= x_0 - a +x_0+a = 2x_0 $.

Cosa intendi per C(ℝ)⊆Lloc1(ℝ) ? Quell'insieme C(ℝ) mi sfugge.

[gugo82]

$\int_0^(x_0+a) x" d"x=1/2(x_0+a)^2$ o sbaglio?

Ad ogni modo dovresti distinguere un po' di casi per calcolare quell'integrale, secondo me...

[irenze]

"goron":Quell'insieme C(ℝ) mi sfugge.

C(ℝ) sono le funzioni continue su ℝ, la notazione è standard, cos'è che ti sfugge?

[goron1]

"Gugo82":$\int_0^(x_0+a) x" d"x=1/2(x_0+a)^2$ o sbaglio?

Ad ogni modo dovresti distinguere un po' di casi per calcolare quell'integrale, secondo me...

Già è vero!
Grazie per la correzione!
Mi potresti dire quali casi dovrei distinguere?

"irenze":[quote="goron"]Quell'insieme C(ℝ) mi sfugge.

C(ℝ) sono le funzioni continue su ℝ, la notazione è standard, cos'è che ti sfugge?[/quote]
Sul mio libro le chiama $CC_0(RR)$, ma adesso è chiaro.


Se qualcuno sa darmi una mano sulla richiesta relativa alla trasformata mi fa un enorme favore!

[clrscr]

"goron":Salve, sto cercando di capire cosa significa calcolare la trasformata di Fourier della funzione $f(x)=x$ utilizzando le distribuzioni temperate.

Per prima cosa ho mostrato che la funzione non è sommabile:
$\int_{-\infty}^{\+infty} |x| dx = \infty $
Tuttavia è localmente sommabile perchè è sommabile su ogni compatto di $RR$, infatti (correggetemi se sbaglio):
$\int_{x_0-a}^{x_0+a} |x| dx = 2x_0, AA a>0 , AA x_0 in RR $

Sfruttando l'analisi complessa sarebbe facile, ma con le distribuzioni temperate dovrei utilizzare in qualche modo la relazione:
$ = AA phi$ funzione regolare a decrescenza rapida, con $T(y)$ trasformata di Fourier.

Mi sapreste dare una mano con lo svolgimento? Non ho ben chiaro come utilizzare la funzione $phi$. Grazie.

Vediamo se riesco a darti una mano...

Premettiamo che $f(x)=x$ definisce una distribuzione temperata.

La trasformata di Fourier esiste(nel senso delle distr. temeprate) perchè,come hai detto tu:

$ = $

e questa è una distribuzione temperata in quanto la trasformata di una funzione $S(RR)$è $S(RR)$.

Quello che vogliamo calcolare è:

$<\hat(x),phi(x)> = <\hat(x*1),phi(x)> = i*$.

Ora applicando la proprietà che:
$hat(-i*f(x)*x) = (del hat(f)(omega))/(del omega)$, otterremo:

$i* = i*2*pi*delta'(omega)$.

[gugo82]

"goron":[quote="Gugo82"]$\int_0^(x_0+a) x" d"x=1/2(x_0+a)^2$ o sbaglio?

Ad ogni modo dovresti distinguere un po' di casi per calcolare quell'integrale, secondo me...

Già è vero!
Grazie per la correzione!
Mi potresti dire quali casi dovrei distinguere?[/quote]
Beh, per calcolare $\int_(x_0-a)^(x_0+a) |x|" d"x$ dovresti distinguere i casi 1) $0<=x_0-a$, 2) $x_0+a<=0$ oppure 3) $x_0-a<0

"goron":[quote="irenze"]$C(RR)$ sono le funzioni continue su $RR$, la notazione è standard, cos'è che ti sfugge?

Sul mio libro le chiama $C_0(RR)$, ma adesso è chiaro.[/quote]
Strana come notazione.
Di solito con $C_0(RR)$ si denota lo spazio delle funzioni continue "infinitesime all'infinito" (cioè di quelle $f$ tali che $AAepsilon >0, exists K\subset RR " compatto": AA x in RR\setminus K, |f(x)|<=epsilon$) o, al massimo, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto (che però io denoto con $C_c(RR)$)...
Una notazione comune per le funzioni continue è $C^0(RR)$ (con lo zero che indica la classe di differenziabilità), però è più comune $C(RR)$.

[goron1]

"clrscr":Vediamo se riesco a darti una mano...

Premettiamo che $f(x)=x$ definisce una distribuzione temperata.

La trasformata di Fourier esiste(nel senso delle distr. temeprate) perchè,come hai detto tu:

$ = $

e questa è una distribuzione temperata in quanto la trasformata di una funzione $S(RR)$è $S(RR)$.

Quello che vogliamo calcolare è:

$<\hat(x),phi(x)> = <\hat(x*1),phi(x)> = i*$.

Ora applicando la proprietà che:
$hat(-i*f(x)*x) = (del hat(f)(omega))/(del omega)$, otterremo:

$i* = i*2*pi*delta'(omega)$.

Ciao, ti ringrazio per la risposta, c'erano alcuni passaggi che non avevo capito ma ho risolto, penso che per $f(x)$ hai indicato la funzione $f(x)=1$. In questo modo ho ottenuto lo stesso risultato.

[goron1]

"Gugo82":
Strana come notazione.
Di solito con $C_0(RR)$ si denota lo spazio delle funzioni continue "infinitesime all'infinito" (cioè di quelle $f$ tali che $AAepsilon >0, exists K\subset RR " compatto": AA x in RR\setminus K, |f(x)|<=epsilon$) o, al massimo, lo spazio delle funzioni continue a supporto compatto (che però io denoto con $C_c(RR)$)...
Una notazione comune per le funzioni continue è $C^0(RR)$ (con lo zero che indica la classe di differenziabilità), però è più comune $C(RR)$.

Hai ragione, con $C_0(RR)$ indica l'insieme delle funzioni continue definite in $RR$, a valori reali, a supporto compatto.