Trasformata di Fourier proprietà cambio della scala

[giogiomogio]

Salve, ho capito la proprietà del cambio della scala ma non capisco in questo esempio che cosa succede,
mi spiego meglio:

Devo trasformare questa funzione:
$f(t)=[3]/[9+a^2t^2]$
Prima cosa vedo subito che si possono usare 3 proprietà:
linearità, dualità e cambio di scala...
quindi:
ponendo $b=3$
ottengo:
$1/2*[2*b]/[b^2+a^2t^2]$
quindi $F(\omega)=\pi*e^(-3|\omega|)$
Adesso dato che c'è un $a^2$ che moltiplica $t^2$ posso sfruttare $F(\omega)$ per utilizzare la proprietà di cambio della scala.
Cosi facendo ottengo:
$f(\omega)=\pi/|a|*e^(-3|\omega/a|)$

prima avevo fatto giusto tranne per il fatto che la mia conclusione era:
$f(\omega)=\pi/|a^2|*e^(-3|\omega/a^2|)$
cioè avevo lasciato un $a^2$ al posto di mettere solo $a$

poi mi son detto perchè ci va solo $a$ e non $a^2$ ? dopo tutto chi moltipilica $t$ è $a^2$
pensandoci però chi $a^2$ non moltiplica $t$ ma $t^2$ quindi non mi convinceva la mia osservazione, allora
riguardando bene la funzione iniziale mi sono accorto che potrei scriverla cosi:
$f(t)=[3]/[9+(at)^2]$
e li ho visto che chi moltpilica $t$ è effettivamente $a$

quindi alla domanda perche ci va $a$ e non $a^2$
il mio ragionamento fila... o c'è dell'altro?

grazie

[Quinzio]

Chi moltiplica $t$ è $a$. Non c'è altro.

Se tu avessi una formula con molti "punti" in cui compare la variabile $t$, per poter applicare la proprietà del riscalamento tutte le $t$ devono avere davanti il fattore del riscalamento.

Esempio: prova a trasformare $a^2t^2+ a^2t$.
Prova ad applicare il riscalamento, senza prima usare la proprietà di linearità. Cioè evita di fare prima $F(a^2t^2+a^2t)=F(a^2t^2)+F(a^2t)$.

[giogiomogio]

se ho capito bene:
$a^2t^2+a^2t=(at)^2+a(at)$
pertanto avrò:
$F((at)^2)+a*F(at)$

possibile?