Trasformata di fourier prodotto di due funzioni

ludwigZero
Ho la seguente funzione e ci devo fare la trasformata di Fourier

$f_n(x) = x^n e^(-2\pi |x|)$

pongo $u(x)= x^n$ e $v(x) = e^(-2\pi |x|)$

per T intendo 'trasformata'
$T(u(x) v(x))(k) = (Tu(x) Tv(x))(k) = \int_{-oo}^{+oo} Tu(k) Tv(k-y) dy$

ora.
Tv(x) è una nota
mentre
$Tu(x) = \int_{-oo}^{+oo} x^n e^(-2\pi k i x) dx$
trovo difficile da smanettare in qualche modo, per parti diventa molto lungo, evidentemente c'è un
metodo ricorsivo di cui io non so :S

help :%%%

Risposte
gugo82
Vuoi usare il fatto che \(\mathcal{F}[uv]=\mathcal{F}* \mathcal{F}[v]\) per calcolare \(\mathcal{F}[uv]\)?
Ti tendi conto che calcolare una convoluzione è, in generale, più difficile di calcolare un integrale di Fourier, vero?

Per calcolare la tua trasformata, inoltre, basta usare coscenziosamente le proprietà della trasformata di Fourier. :wink:

ludwigZero
la ''formula' da usare è questa:

$T[x f(x)] = i d/(dk) T[f(x)]$

solo che devo pensare a qualche metodo ricorsivo per $x^n f(x)$ ...

gugo82
Non è che hai tanto cui pensare... Ad esempio:
\[
\mathcal{F}[x^2 u]=\imath\ \frac{\text{d}}{\text{d} k} \mathcal{F}[x u] = \imath\ \frac{\text{d}}{\text{d} k} \left[ \imath\ \frac{\text{d}}{\text{d} k} \mathcal{F} \right] = \imath^2\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} k^2} \mathcal{F}
\]
e puoi indovinare da te come vanno avanti le cose. :wink:

ludwigZero
quindi è del tipo:

$i^n d^n/(dk^n) F$

gugo82
La ciliegina sulla torta: una dimostazione per induzione... :wink:

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