Trasformata di fourier prodotto di due funzioni

[ludwigZero]

Ho la seguente funzione e ci devo fare la trasformata di Fourier

$f_n(x) = x^n e^(-2\pi |x|)$

pongo $u(x)= x^n$ e $v(x) = e^(-2\pi |x|)$

per T intendo 'trasformata'
$T(u(x) v(x))(k) = (Tu(x) Tv(x))(k) = \int_{-oo}^{+oo} Tu(k) Tv(k-y) dy$

ora.
Tv(x) è una nota
mentre
$Tu(x) = \int_{-oo}^{+oo} x^n e^(-2\pi k i x) dx$
trovo difficile da smanettare in qualche modo, per parti diventa molto lungo, evidentemente c'è un
metodo ricorsivo di cui io non so :S

help :%%%

[gugo82]

Vuoi usare il fatto che \(\mathcal{F}[uv]=\mathcal{F}* \mathcal{F}[v]\) per calcolare \(\mathcal{F}[uv]\)?
Ti tendi conto che calcolare una convoluzione è, in generale, più difficile di calcolare un integrale di Fourier, vero?

Per calcolare la tua trasformata, inoltre, basta usare coscenziosamente le proprietà della trasformata di Fourier.

[ludwigZero]

la ''formula' da usare è questa:

$T[x f(x)] = i d/(dk) T[f(x)]$

solo che devo pensare a qualche metodo ricorsivo per $x^n f(x)$ ...

[gugo82]

Non è che hai tanto cui pensare... Ad esempio:
\[
\mathcal{F}[x^2 u]=\imath\ \frac{\text{d}}{\text{d} k} \mathcal{F}[x u] = \imath\ \frac{\text{d}}{\text{d} k} \left[ \imath\ \frac{\text{d}}{\text{d} k} \mathcal{F} \right] = \imath^2\ \frac{\text{d}^2}{\text{d} k^2} \mathcal{F}
\]
e puoi indovinare da te come vanno avanti le cose.

[ludwigZero]

quindi è del tipo:

$i^n d^n/(dk^n) F$

[gugo82]

La ciliegina sulla torta: una dimostazione per induzione...