Trasformata di Fourier: perché viene così?
Ciao a tutti!
Mi scuso in anticipo se ho postato la domanda nella sezione sbagliata: ho provato ad inserire questa domanda nella sezione Università ma dice che "solo i Moderatori possono aprire nuovi argomenti".
Ad ogni modo, nella Teoria dei Segnali, a proposito delle trasformate di Fourier c'è un esercizio svolto che non so perché viene svolto nella seguente maniera.
Trovare la trasformata di Fourier del segnale $x(t)=t^2e^{-\alpha t}u_{-1}(t)$
Il libro di testo dice che sapendo che la trasformata dell'esponenziale è $E(f)=\frac{1}{\alpha +j2 \pi f}$ e che derivare due volte in frequenza significa moltiplicare il segnale in tempo per $ (-j2 \pi t)^2$ si ha
(1) $[x(t)]= \frac{1}{ (-j2 \pi)^2 } \frac{d^2}{df^2} (\frac{1}{\alpha + j2 \pi f})=$
(2) $=\frac{1}{(j2\pi)^2} \frac{d^2}{df^2} (\frac{1}{\alpha + j2 \pi f})= $
(3) $=\frac{d^2}{d(j2 \pi f)^2} \frac{1}{(\alpha + j2 \pi f)}= $
(4) $= \frac{2}{(\alpha +j2\pi f)^3} $
La mia domanda è questa: al passo (1) perché divide per (-j2π)²? Inoltre perché fa la derivata seconda rispetto alla frequenza? Non capisco la corrispondenza con quello che ha spiegato prima (dividere per (j2πt)²) e quello che ha fatto poi (-j2π)²
Mi spiegate che ragionamento logico ha fatto nel calcolarsi X(f)? Come "gioca" con E(f)?
Mi scuso in anticipo se ho postato la domanda nella sezione sbagliata: ho provato ad inserire questa domanda nella sezione Università ma dice che "solo i Moderatori possono aprire nuovi argomenti".
Ad ogni modo, nella Teoria dei Segnali, a proposito delle trasformate di Fourier c'è un esercizio svolto che non so perché viene svolto nella seguente maniera.
Trovare la trasformata di Fourier del segnale $x(t)=t^2e^{-\alpha t}u_{-1}(t)$
Il libro di testo dice che sapendo che la trasformata dell'esponenziale è $E(f)=\frac{1}{\alpha +j2 \pi f}$ e che derivare due volte in frequenza significa moltiplicare il segnale in tempo per $ (-j2 \pi t)^2$ si ha
(1) $[x(t)]= \frac{1}{ (-j2 \pi)^2 } \frac{d^2}{df^2} (\frac{1}{\alpha + j2 \pi f})=$
(2) $=\frac{1}{(j2\pi)^2} \frac{d^2}{df^2} (\frac{1}{\alpha + j2 \pi f})= $
(3) $=\frac{d^2}{d(j2 \pi f)^2} \frac{1}{(\alpha + j2 \pi f)}= $
(4) $= \frac{2}{(\alpha +j2\pi f)^3} $
La mia domanda è questa: al passo (1) perché divide per (-j2π)²? Inoltre perché fa la derivata seconda rispetto alla frequenza? Non capisco la corrispondenza con quello che ha spiegato prima (dividere per (j2πt)²) e quello che ha fatto poi (-j2π)²
Mi spiegate che ragionamento logico ha fatto nel calcolarsi X(f)? Come "gioca" con E(f)?
Risposte
la proprietà è la seguente: si ha $F[ d/(dt) x(t)](f) = j2\pi f X(f)$, quindi per dualità si ha $F[-j2\pi t x(t)](f) = d/(df)X(f)$ da cui $\F[t x(t)](f) = j/(2\pi) d/(df)(X(f))$
Iterando il procedimento si ha la forma generale
$F[t^n x(t)](f) = (j/(2\pi))^n d^n/(df^n)X(f)$
PS: risulta ovvio che $j = -1/j$
EDIT: ho corretto l'errore segnalato qui dopo.
Iterando il procedimento si ha la forma generale
$F[t^n x(t)](f) = (j/(2\pi))^n d^n/(df^n)X(f)$
PS: risulta ovvio che $j = -1/j$
EDIT: ho corretto l'errore segnalato qui dopo.
grazie! adesso è più chiaro
Solo una cosa
intendevi $F[ d/(dt) x(t)](f) = j2\pi f X(f)$, manca una $f$ al secondo membro?
Solo una cosa
"Ska":
la proprietà è la seguente: si ha $F[ d/(dt) x(t)](f) = j2\pi X(f)$, ...
intendevi $F[ d/(dt) x(t)](f) = j2\pi f X(f)$, manca una $f$ al secondo membro?
sì scusa.... è rimasta nella tastiera 
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