Trasformata di Fourier in L^2

[mora87]

Perchè bisogna estendere il concetto di trasformata a L^2 ?
Che rapporto c'è tra i vari spazi L^p e in particolare tra L^1 e L^2 ?
Grazie

[mora87]

scusate per la fretta
con L^p intendo lo spazio delle funzioni allla p-esima potenza sommabili

[alle.fabbri]

L^2 è l'unico spazio di Hilbert su cui è possibile lavorare con facilità. E' fondamentale perchè è lo spazio degli stati della meccanica quantistica. E lì la trasformata di Fourier è fondamentale in quanto rappresenta una "trasformazione di coordinate", o un cambiamento di base se preferisci, ortonormale, che preserva cioè i prodotti scalari. E siccome la fisica è fatta di prodotti scalari, questa proprietà ci risulta molto gradita.

Per quanto riguarda la seconda domanda devo ammettere di essere un po' confuso anche io. Un risultato che può essere chiarificatore è che se una $f in L^a $ e $f in L^b$ con $a

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[mora87]

grazie per l'input, sono andato a vedere gli operatori unitari in uno spazio di hilbert e ho capito cosa volevi dire
Grazie mille

[alle.fabbri]

Una delle conseguenze più carine di questo modo di concepire la trasformata di Fourier come un cambiamento di base (in un contesto di meccanica quantistica) è che "gratis" riesci a ottenere il principio di indeterminazione di Heisenberg...

Figurati....ciao!

[gugo82]

"alle.fabbri":Un risultato che può essere chiarificatore è che se una $f in L^p$ e $f in L^s$ con $p
Insomma, vale l'inclusione $L^r(X)\subseteq L^p(X)\capL^s(X)$ per ogni terna d'indici $p<=r<=s \in ]0,+oo[$; aggiungo che vale anche la disuguaglianza $||f||_r<=max\{||f||_p,||f||_s\}$.
La relazione d'inclusione si conserva quando si "passa al limite" per $s\to +oo$, nel senso che è possibile provare che $L^r(X)\subseteq L^p(X)\cap L^oo(X)$ per ogni scelta di indici $p<=r\in ]0,+oo[$ (questo si dimostra facilmente, perchè si ha $|f|^r<=||f||_oo^(r-p)*|f|^p$ q.o. in $X$); la "disuguaglianza d'interpolazione" in questo caso è $||f||_r<=||f||_oo^(1-p/r)*||f||_p^(p/r)$.

Infine, se $X$ è a misura finita ($\mu(X)<+oo$), allora si trova che $L^r(X)\subseteq L^p(X)$ per ogni coppia $p<=r \in ]0,+oo]$ (insomma quando la misura di $X$ è finita nello spazio $L^p$ si può immergere un qualunque $L^r$ corrispondente ad un indice più grande di $p$; ciò non si può sempre fare, cfr. con l'inclusione iniziale); in questo caso risulta $||f||_p<=[\mu(X)]^(1/p-1/r)*||f||_r$.
In questo caso si ha pure $L^oo(X)\subseteq L^p(X)$ per ogni $p\in ]0,+oo]$.