Trasformata di Fourier e sviluppo in serie

[DDL92]

Devo determinare la trasformata di Fourier del seguente segnale: $(t^2 -2|t| +1)[u(t+1)-u(t-1)] $ di periodo 4, e indicarne lo sviluppo in serie di Fourier.

Ho pensato di considerare la mia funzione come somma di tre funzioni, ovvero
$x(t)=x1(t)+x2(t)+x3(t)$
indicando con
$x1(t)=t^2[u(t+1)-u(t-1)]$
$x2(t)=-2|t|[u(t+1)-u(t-1)]$
$x3(t)=[u(t+1)-t(t-1)]$
Ho poi discusso la x2(t) che presenta il valore assoluto, quindi l'ho considerata somma di due funzioni con la relativa finestra di appartenenza. Ho calcolato le trasformate e poi applicato il campionamento.
Può essere valido come metodo?

[gugo82]

E sì... Perché non dovrebbe?
Alla fine hai sommato i risultati?

Avresti anche potuto notare che:
\[
(t^2+2|t|+1)[\operatorname{u}(t+1) -\operatorname{u}(t-1)] = (t-1)^2[\operatorname{u}(t+1) -\operatorname{u}(t)] +(t+1)^2[\operatorname{u}(t) -\operatorname{u}(t-1)]
\]
e forse avresti fatto meno conti.

[DDL92]

perchè mi sembrava di essermi complicato troppo la vita, e cercavo qualcosa di più comodo...magari mi sfuggiva qualcosa!e in effetti questa soluzione che mi stai ponendo risulta molto molto comoda. ti ringrazio
alla fine sì, ho sommato i risultati, e mi viene una funzione molto pesante. comunque mi interessava capire se avevo inquadrato il procedimento di risoluzione...
per quanto riguarda il periodo 4, può comportare qualcosa di particolare?perchè mi era sempre capitato di determinarmi il periodo guardando la finestra, e in questo caso avrei detto 2!

[gugo82]

Il periodo interviene nella determinazione dei coefficienti, quindi in generale a periodi diversi corrispondono coefficienti diversi.

Ma ciò è del tutto ovvio, perché nel caso \(T=2\) il grafico del prolungamento del tuo segnale base ha una forma del genere:
[asvg]axes("","");
strokewidth=2;
stroke="dodgerblue";
plot("(x+7)^2",-6,-5); plot("(x+5)^2",-7,-6);
plot("(x+5)^2",-4,-3); plot("(x+3)^2",-5,-4);
plot("(x+3)^2",-2,-1); plot("(x+1)^2",-3,-2);
plot("(x-1)^2",2,3); plot("(x-3)^2",1,2);
plot("(x-3)^2",4,5); plot("(x-5)^2",3,4);
plot("(x-5)^2",6,7); plot("(x-7)^2",5,6);
stroke="red"; plot("(x+1)^2",0,1); plot("(x-1)^2",-1,0);[/asvg]
mentre per \(T=4\) hai:
[asvg]axes("","");
strokewidth=2;
stroke="dodgerblue";
plot("(x+5)^2",-4,-3); plot("(x+3)^2",-5,-4); plot("0",-6,-5);plot("0",-3,-2);
plot("(x-3)^2",4,5); plot("(x-5)^2",3,4); plot("0",2,3);plot("0",5,6);
stroke="red";
plot("(x+1)^2",0,1); plot("(x-1)^2",-1,0); plot("0",-2,-1);plot("0",1,2);[/asvg]
quindi i segnali periodici dei quali cerchi lo sviluppo in serie (e la trasfomata) sono ben diversi quando i periodi differiscono.

[DDL92]

perfetto, è proprio come me l'ero immaginato!grazie mille. sì che i segnali periodici siano diversi è evidente. grazie ancora per la risposta rapidissima