Trasformata di Fourier e singolaritá
Buongiorno a tutti ragazzi! Sono incappato nel calcolo di una t.d.fourier che mi sta creando non pochi problemi. Il testo é semplice: "calcolare la t.d. Fourier di f(x)= 1/[ (x^3)-1]"
Per prima cosa ho notato che non siamo in L1, quindi non posso applicar immediatamente il teorema dei residui con il lemma di Jordan. Ho una singolarità per x=1 e altre due in -1+3i/2 e -1-3i/2. Il problema é quindi 1 in quanto si trova sull'asse reale. Da quanto ho capito devo usare il metodo con due circonferenze che mi escludono il punto 1. Ma insieme ci calcol anche il residuo delle altre singolaritá? Oppure calcolo in modo diverso per x=1 e poi le altre due con il solito metodo?
Ogni chiarimento sarebbe gradito! Grazie mille ragazzi
Per prima cosa ho notato che non siamo in L1, quindi non posso applicar immediatamente il teorema dei residui con il lemma di Jordan. Ho una singolarità per x=1 e altre due in -1+3i/2 e -1-3i/2. Il problema é quindi 1 in quanto si trova sull'asse reale. Da quanto ho capito devo usare il metodo con due circonferenze che mi escludono il punto 1. Ma insieme ci calcol anche il residuo delle altre singolaritá? Oppure calcolo in modo diverso per x=1 e poi le altre due con il solito metodo?
Ogni chiarimento sarebbe gradito! Grazie mille ragazzi
Risposte
Nessuno raga?
Se, da come ho capito io, vuoi usare un circuito composto da \((R,1-\epsilon)\cup\{z=1+\epsilon e^{-it}, t\in[-\pi,0]\}\cup(1+\epsilon,R)\cup\{z=1+Re^{it}, t\in[0,\pi]\}\) per poi fare il limite \(R\to+\infty, \epsilon\to 0^+\) allora necessariamente il polo in \(z=-1+\frac32i\) sarà avvolto dalla curva, quindi dovrai calcolarne il residuo.
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