Trasformata di Fourier e replicazione
Salve a tutti. Ho la seguente funzione: [tex]x(t)= 3sinc(4t)+5sinc(2t)cos(12\pi t)[/tex] dove [tex]sinc(t)=\frac{sin(\pi t)}{\pi t }[/tex]. L'esercizio mi chiede di calcolare [tex]\tilde{x} (t)= \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x(t-kT)[/tex] ovvero la replicazione di [tex]x(t)[/tex] con periodo di replicazione [tex]T= 2/9[/tex]. Ho svolto l'esercizio in questo modo ( vorrei sapere se è corretto o meno ) :
A replicazione nel dominio del tempo corrisponde campionamento in frequenza, ovvero : [tex]\tilde{X}(f)=\sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}X(\frac{k}{T})\delta(f-\frac{k}{T})[/tex](1). Scrivendo il coseno tramite la formula di Eulero posso ricavare subito [tex]X(f)=\frac{3}{4} \prod(\frac{f}{4}) + \frac{5}{4}\prod(\frac{f+6}{2}) + \frac{5}{4}\prod(\frac{f-6}{2})[/tex] dove la [tex]\prod[/tex] indica la finestra rettangolare. Ora guardando la relazione noto che [tex]X(\frac{k}{T})[/tex] è nulla per qualsiasi k eccetto [tex]k=0[/tex] ( per [tex]k=1[/tex] dovrei stimare [tex]X(\frac{9}{2})=0[/tex]). Quindi [tex]\tilde{X}(f)=\frac{1}{T} X(0)\delta(f)=\frac{9}{2}\frac{3}{4}\delta(f)=\frac{27}{8}\delta(f)[/tex] quindi [tex]\tilde{x}(t)=\frac{27}{8}[/tex].
A replicazione nel dominio del tempo corrisponde campionamento in frequenza, ovvero : [tex]\tilde{X}(f)=\sum_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{T}X(\frac{k}{T})\delta(f-\frac{k}{T})[/tex](1). Scrivendo il coseno tramite la formula di Eulero posso ricavare subito [tex]X(f)=\frac{3}{4} \prod(\frac{f}{4}) + \frac{5}{4}\prod(\frac{f+6}{2}) + \frac{5}{4}\prod(\frac{f-6}{2})[/tex] dove la [tex]\prod[/tex] indica la finestra rettangolare. Ora guardando la relazione noto che [tex]X(\frac{k}{T})[/tex] è nulla per qualsiasi k eccetto [tex]k=0[/tex] ( per [tex]k=1[/tex] dovrei stimare [tex]X(\frac{9}{2})=0[/tex]). Quindi [tex]\tilde{X}(f)=\frac{1}{T} X(0)\delta(f)=\frac{9}{2}\frac{3}{4}\delta(f)=\frac{27}{8}\delta(f)[/tex] quindi [tex]\tilde{x}(t)=\frac{27}{8}[/tex].
Risposte
"Slashino":
\( X(f)=\frac{3}{4} \prod(\frac{f}{4}) + \frac{5}{4}\prod(\frac{f+6}{2}) + \frac{5}{4}\prod(\frac{f-6}{2}) \) dove la \( \prod \) indica la finestra rettangolare. Ora guardando la relazione noto che \( X(\frac{k}{T}) \) è nulla per qualsiasi k eccetto \( k=0 \)
Questa va bene per il primo addendo dei 3, ma gli altri 2 ?
La [tex]X(f)[/tex] è quella in figura. Per [tex]k=1[/tex] campiono in [tex]f= \frac{9}{2}= 4.5[/tex] ( evidenziata con il segno in rosso ) che cade in una zona dove la funzione è nulla...è così o sbaglio qualcosa?
...nessuno? 
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