Trasformata di Fourier è continua?

[giocind_88]

Buonasera a tutti . Chiedo scusa e aiuto . Mi trovo "alle prime armi" con la trasformata di Fourier. Studiando le prime proprietà, precisamente la continuità in R della trasformata di Fourier, mi trovo davanti all'affermazione che la funzione integranda presente nella definizione della trasformata di Fourier e'sommabile. Da tale affermazione segue (applicando un risultato teorico studiato precedentemente) la continuità della trasformata. Il mio dubbio è: perchè la funzione integranda sopra scritta è sommabile (stando alla definizione di funzione sommabile)? Ho cercato, ho provato a rifletterci su ma non trovo la "risposta soluzione" . Vi ringrazio tanto tanto anticipatamente

[Raptorista1]

Qual è il dominio della Trasformata di Fourier?

[giocind_88]

Il dominio è R. Grazie mille

[Raptorista1]

Non è la risposta alla mia domanda.

[giocind_88]

Mi scusi, allora non ho capito . Sugli appunti compare R. Grazie mille per la gentile attenzione e disponibilità

[Raptorista1]

La trasformata di Fourier è un operatore che agisce su funzioni, quindi il suo dominio è l'insieme delle funzioni che possono essere trasformate. Qual è questo dominio?

[giocind_88]

Grazie mille. Sul materiale di studio l'argomento della trasformata di Fourier inizia con il considerare una funzione f appartenente a L1 (R) ossia sommabile in R e poi continua definendo la trasformata di Fourier di f tramite un integrale . Ancora grazie mille.

[Raptorista1]

Ok, quindi se \(f(x) \in L^1\), per concludere che \(f(x) e^{-i\omega x} \in L^1\) basta pescare la disuguaglianza giusta, no?

[giocind_88]

Ho pensato che se consideriamo il modulo della seconda funzione scritta sopra, essa è uguale a |f(x)| e quindi ci si riconduce all'ipotesi che f è sommabile. E' giusta la "conclusione"? . Ancora grazie.

[Raptorista1]

"gi88":Ho pensato che se consideriamo il modulo della seconda funzione scritta sopra, essa è uguale a |f(x)|

Questo chi l'ha detto?

[giocind_88]

Nel materiale da cui sto studiando, vi è un' osservazione per la quale il modulo dell'esponenziale così come presente sopra è uguale a 1. Grazie ancora

[Raptorista1]

Sì, questo lo sappiamo tutti, ma non è questa la strada da seguire: non è una considerazione puntuale che ti serve, bensì un modo di mettere in relazione d'ordine [nel senso giusto] i valori \(||f(x)||_{L^2}\) e \(||f(x) e^{-i\omega x}||_{L^2}\). Ci sono solo tre disuguaglianze notevolmente più importanti delle altre, non hai molta possibilità di scelta.

[giocind_88]

Mi scuso tanto, ma non riesco a capire il passaggio "cruciale"per affermare che la funzione integranda della definizione della trasformata di Fourier è sommabile cioè non mi è chiara la disuguaglianza cercata . Ho cercato di far riferimento al fatto che il modulo dell'esponenziale sopra considerato è pari a 1, ma non è la strada giusta . Ancora grazie, grazie mille.

[Raptorista1]

Nella parte di analisi reale sugli spazi \(L^p\) ci sono 3 [tre] disuguaglianze notevoli che tutti gli studenti devono studiare: Young, Hölder e Minkowski. La seconda di queste dovrebbe condurti alla soluzione.