Trasformata di Fourier di una funzione test
Salve, sto cercando di dimostrare che data una funzione $phi in D(R^n) $ , la sua trasformata di Fourier non sta più in tale spazio (salvo ovviamente non sia la funzione identicamente nulla) , in particolare osservando che essa non ha più supporto compatto.
Ho provato a procedere così: per semplicità, mettiamoci in $R$.
$ F(phi)(k) = int _R e^(-i2pi k x) phi dx $ , se $ k = Rek + i (Imk) $ riscrivo
$ F(phi)(k) = int _R e^(-i2pi (Rek) x) e^(2pi (Imk) x)phi dx $
Ora sotto l'integrale c'è $ e^(2pi (Imk) x)$ che non è limitato, ma grazie al supporto compatto di $phi$ al più potrà assumere un certo valore massimo $e^(2pi (Imk) C)$ dove $C$ è un certo valore della x che dipende dal supporto di $phi$ . Con ciò penso di maggiorare il modulo della trasformata di Fourier di $phi$:
$|F(phi)| \leq e^(2pi (Imk) C)int _R |phi| dx < oo $ certamente
Sembra con ciò che non ci siano limiti in k perchè l'integrale sia convergente, ma da qui posso concludere che tale trasformata non ha supporto compatto affermando ad es. che essa è analitica? (mostrando con analoghi passaggi che anche la derivata di $F(phi)$ è limitata in modulo, ciò rende lecito il passaggio sotto segno di integrale di $d/(dk)$, per ogni ordine di derivazione.)
Vi ringrazio per l'attenzione
Ho provato a procedere così: per semplicità, mettiamoci in $R$.
$ F(phi)(k) = int _R e^(-i2pi k x) phi dx $ , se $ k = Rek + i (Imk) $ riscrivo
$ F(phi)(k) = int _R e^(-i2pi (Rek) x) e^(2pi (Imk) x)phi dx $
Ora sotto l'integrale c'è $ e^(2pi (Imk) x)$ che non è limitato, ma grazie al supporto compatto di $phi$ al più potrà assumere un certo valore massimo $e^(2pi (Imk) C)$ dove $C$ è un certo valore della x che dipende dal supporto di $phi$ . Con ciò penso di maggiorare il modulo della trasformata di Fourier di $phi$:
$|F(phi)| \leq e^(2pi (Imk) C)int _R |phi| dx < oo $ certamente
Sembra con ciò che non ci siano limiti in k perchè l'integrale sia convergente, ma da qui posso concludere che tale trasformata non ha supporto compatto affermando ad es. che essa è analitica? (mostrando con analoghi passaggi che anche la derivata di $F(phi)$ è limitata in modulo, ciò rende lecito il passaggio sotto segno di integrale di $d/(dk)$, per ogni ordine di derivazione.)
Vi ringrazio per l'attenzione
Risposte
Si, la tecnica è quella: devi dimostrare che la trasformata di Fourier di una funzione a supporto compatto è una funzione olomorfa intera. Ma stai procedendo in modo sbagliato. Infatti tu cerchi di dimostrare che la trasformata di Fourier è limitata, invece devi mostrare un'altra cosa: che si può prendere la derivata rispetto a $z$ (variabile complessa) sotto il segno di integrale in
$int phi(x) e^{-i 2pi xz} dx$.
Prova ad usare il teorema della convergenza dominata.
In alternativa, sviluppa il termine esponenziale in serie di potenze e mostra che da qui riesci ad ottenere uno sviluppo in serie di Taylor valido per la funzione $F(z)$.
$int phi(x) e^{-i 2pi xz} dx$.
Prova ad usare il teorema della convergenza dominata.
In alternativa, sviluppa il termine esponenziale in serie di potenze e mostra che da qui riesci ad ottenere uno sviluppo in serie di Taylor valido per la funzione $F(z)$.
Grazie mille per la risposta dissonance. Ho provato ad utilizzare il teorema di dominata convergenza, ma non riesco a capire in che modo vada utilizzato. Questa è la versione che conosco io, che rigurda la possibilità di passare il limite di successione sotto segno di integrale:
Se ho capito bene devo passare il limite (del rapporto incrementale e quindi la derivata) sotto segno di integrale e mostrare che l'integrale della derivata rispetto a z non ha problemi di convergenza, cioè giustificare che sia sommabile la funzione che esce fuori dalla derivazione sotto il segno di integrale...??
Se ho capito bene devo passare il limite (del rapporto incrementale e quindi la derivata) sotto segno di integrale e mostrare che l'integrale della derivata rispetto a z non ha problemi di convergenza, cioè giustificare che sia sommabile la funzione che esce fuori dalla derivazione sotto il segno di integrale...??
La cosa non banale è dimostrare che vale questa relazione di limite:
$lim_{h \to 0} int phi(x) frac{e^{-i 2pi x (z+h)}- e^{-i 2pi xz}}{h}dx=\int phi(x)lim_{h \to 0}frac{e^{-i 2pi x (z+h)}- e^{-i 2pi xz}}{h}dx$
dove $h \in CC$. Il resto è facile.
$lim_{h \to 0} int phi(x) frac{e^{-i 2pi x (z+h)}- e^{-i 2pi xz}}{h}dx=\int phi(x)lim_{h \to 0}frac{e^{-i 2pi x (z+h)}- e^{-i 2pi xz}}{h}dx$
dove $h \in CC$. Il resto è facile.
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