Trasformata di Fourier di una derivata di una funzione

[Spremiagrumi1]

Non ho capito una dimostrazione, o meglio non ho capito la considerazione finale.
Abbiamo che se una funzione e la sua derivata ammettono entrambe una trasformata di Fourier queste sono legate dalla relazione
$F[(df)/(dx)]=ipF[f(x)]$
effettuando una integrazione per parti, si ha
$F[(df)/(dx)]=1/(sqrt(2pi))int(e^-ipx)(df)/(dx) dx= $
$=1/(sqrt(2pi))(e^(-ipx))f(x)-1/(sqrt2pi)intf(x)(d/dxe^(-ipx))dx$
gli integrali sono tra più infinito e meno infinito.
Poi dice: il termine integrato
$1/(sqrt(2pi))(e^(-ipx))f(x)$ tra + e - infinito
è cero nullo perché, se $f(x)$ ammette traformata di Fourier, deve necessariamente essere
$lim_(x -> +- prop ) f(x)=0$
e quindi è dimostrato

Non ho capito perché quel limite debba essere nullo. Se qualcuno riesce a spiegarmelo, anche brevemente, lo ringrazio

PS: non so mettere il simbolo infinito

[dissonance]

E' un esercizio facile dimostrare che se \(f\in L^1(\mathbb{R})\cap C^1(\mathbb{R})\) è tale che \(f'\in L^1(\mathbb{R})\) allora \(\lim_{x\to \pm \infty} f(x)=0\). Si tratta di applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, mostrare che \(f\) ammette limite a \(+\infty\) e \(-\infty\) e concludere che tale limite deve essere \(0\), per non cadere in contraddizione con l'integrabilità di \(f\).