Trasformata di Fourier di [t]
Salve come da titolo devo risolvere il suddetto esercizio, ma non conosco la funzione [t], mai avuto a che fare con tale funzione.
Risposte
Condizione necessaria per l'esistenza della traformata...
$\mathcal{F} \{f(t)\} = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(t)\ e^{- i\ \omega\ t}\ dt$ (1)
... e' che esista l'integrale...
$\int_{- \infty}^{+ \infty} |f(t)|\ dt$ (2)
Se $f(t)=[t]$ e' la funzione 'intero piu' vicino a t' l'integrale (2) esiste?...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\mathcal{F} \{f(t)\} = \int_{- \infty}^{+ \infty} f(t)\ e^{- i\ \omega\ t}\ dt$ (1)
... e' che esista l'integrale...
$\int_{- \infty}^{+ \infty} |f(t)|\ dt$ (2)
Se $f(t)=[t]$ e' la funzione 'intero piu' vicino a t' l'integrale (2) esiste?...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
@ chisigma
Tieni conto, comunque, che la trasformata di Fourier si può definire anche fuori da $L^1$, ad esempio su $L^2$, via Plancherel (vedi, e.g., Rudin, R&CA, chap. 9).
Tieni conto, comunque, che la trasformata di Fourier si può definire anche fuori da $L^1$, ad esempio su $L^2$, via Plancherel (vedi, e.g., Rudin, R&CA, chap. 9).
quindi la funzione [t] in questo caso sarebbe l'insieme dei numeri naturali?
in tal caso è giusto considerarla nel senso delle distribuzioni?
in tal caso è giusto considerarla nel senso delle distribuzioni?
La funzione 'intero piu' vicino a t' e' definita cosi'...
http://mathworld.wolfram.com/NearestInt ... ction.html
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
http://mathworld.wolfram.com/NearestInt ... ction.html
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Forse si potrebbe dimostrare per induzione che l'integrale di parte intera di x è zero... in realtà oscilla tra meno infinito e zero, se consideri la funzione pavimento, più infinito e zero, se consideri la funzione soffitto, e infine zero se consideri intervalli simmetrici della funzione approssimo al più vicino intero 
Al di la' della confusione al solito presente su Wikipedia, proviamo a considerare la funzione f(t)=[t] 'intero piu' vicino a t'. Dal momento che la funzione e' dispari possiamo scrivere...
$\mathcal{F} \{[t]\} = 2\ i\ \mathcal{Im} \{\int_{0}^{\infty} [t]\ e^{- i\ \omega\ t}\ dt \}$ (1)
Osservando la (1) si e' tentati di ricorrere al seguente 'stratagemma' , sulla cui correttezza pero' non giurerei. Cominciamo con il calcolo della Trasformata di Laplace della [t]...
$f(s)= \mathcal{L} \{[t]\} = \int_{0}^{\infty} [t]\ e^{- s t}\ dt = frac{e^{- \frac{s}{2}}}{s\ (1-e^{- s})}$ (2)
combinando insieme la (1) e la (2) potremmo forse arrivare a dire che e'...
$\mathcal{F} \{[t]\} = 2\ i\ \mathcal{Im} \{f(i\ \omega)\} $
... espressione che tra l'altro e' assai 'noiosa' da esplicitare?...
... che ne pensate?...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$\mathcal{F} \{[t]\} = 2\ i\ \mathcal{Im} \{\int_{0}^{\infty} [t]\ e^{- i\ \omega\ t}\ dt \}$ (1)
Osservando la (1) si e' tentati di ricorrere al seguente 'stratagemma' , sulla cui correttezza pero' non giurerei. Cominciamo con il calcolo della Trasformata di Laplace della [t]...
$f(s)= \mathcal{L} \{[t]\} = \int_{0}^{\infty} [t]\ e^{- s t}\ dt = frac{e^{- \frac{s}{2}}}{s\ (1-e^{- s})}$ (2)
combinando insieme la (1) e la (2) potremmo forse arrivare a dire che e'...
$\mathcal{F} \{[t]\} = 2\ i\ \mathcal{Im} \{f(i\ \omega)\} $
... espressione che tra l'altro e' assai 'noiosa' da esplicitare?...
... che ne pensate?...
cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
io avevo pensato invece al seguente modo:
scrivere la funzione [t] come somma di gradini, cioè
\(\displaystyle [t]=\sum_{-\infty }^{+\infty }[(n+1)u(n)-(n+1)u(n+1)] \)
ed essendo la funzione lineare a tratti, posso tranquillamente calcolare la trasformata di Fourier.
Potrebbe andare?
scrivere la funzione [t] come somma di gradini, cioè
\(\displaystyle [t]=\sum_{-\infty }^{+\infty }[(n+1)u(n)-(n+1)u(n+1)] \)
ed essendo la funzione lineare a tratti, posso tranquillamente calcolare la trasformata di Fourier.
Potrebbe andare?
Mi sembra buona l'idea di sfruttare la sommatoria dei gradini. Però io farei così, attendo vostre conferme o smentite 
Indicando con $rect(t)$ la funzione rettangolo, di altezza uno e durata uno, potremmo scrivere:
A questo punto è già tutto fatto, perché considerando che la trasformata di un rettangolo è la funzione $sinc$ e che la trasformata è in generale un'operazione lineare:
Fatemi sapere
Indicando con $rect(t)$ la funzione rettangolo, di altezza uno e durata uno, potremmo scrivere:
$f(t)=[t]=\sum_{n=1}^(+\infty)n[rect(t-n)+rect(t+n)]$.
A questo punto è già tutto fatto, perché considerando che la trasformata di un rettangolo è la funzione $sinc$ e che la trasformata è in generale un'operazione lineare:
$\hat(f)(\xi)=\sum_{n=1}^(+\infty)[text{ne}^(-i\xin)sinc(\xi)+text{ne}^(i\xin)sinc(\xi)]=$
$=\sum_{n=1}^(+\infty)[n(e^(i\xin)+e^(-i\xin))]sinc(\xi)=$
$=2\sum_{n=1}^(+\infty)[ncos(n\xi)]sinc(\xi)$.
Fatemi sapere
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