Trasformata di Fourier di e^j|t| [RISOLTO]
Salve. Ho problemi con la trasformata di Fourier di $\(x(t)=e^-(j|t|) )$\ .
Ho provato a calcolarla con la definizione, ossia svolgendo l'integrale:
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^(-j|t|)e^(-jwt) dt\ $
Lo spezzo per liberarmi del modulo :
$\int_{-\infty}^{0}e^(jt)e^(-jwt) dt$ + $\int_{0}^{+\infty}e^(-jt)e^(-jwt) dt$
e ora sorge il problema. Trovata una primitiva, ho problemi a valutare i due limiti all'infinito.
Suppongo che in qualche modo vadano entrambi a zero, ma non riesco a dimostrare il perché! Spero possiate aiutarmi !
Ho provato a calcolarla con la definizione, ossia svolgendo l'integrale:
$\int_{-\infty}^{+\infty}e^(-j|t|)e^(-jwt) dt\ $
Lo spezzo per liberarmi del modulo :
$\int_{-\infty}^{0}e^(jt)e^(-jwt) dt$ + $\int_{0}^{+\infty}e^(-jt)e^(-jwt) dt$
e ora sorge il problema. Trovata una primitiva, ho problemi a valutare i due limiti all'infinito.
Suppongo che in qualche modo vadano entrambi a zero, ma non riesco a dimostrare il perché! Spero possiate aiutarmi !
Risposte
$j$ e' l'unita' immaginaria? $dx$ dovrebbe piuttosto essere $dt$? La soluzione dovrebbe somigliare a una $\delta$ di Dirac
Sì perdonami, è che ho avuto più di un problemino nello scrivere le formule, e scrivendo cancellando, ricopiando e incollando, è venuto fuori quel refuso. Correggo. Riguardo a j, sì è l'unità immaginaria.
"killing_buddha":
$j$ e' l'unita' immaginaria? $dx$ dovrebbe piuttosto essere $dt$? La soluzione dovrebbe somigliare a una $\delta$ di Dirac
Ehm....qualche altro indizio riguardo alla faccenda della $\delta$ di Dirac ?
Davvero, non so come operare.
Nessuno che riesca ad aiutarmi? 
Sei proprio sicuro che non sia \(e^{-|t|}\)?
"dissonance":
Sei proprio sicuro che non sia \(e^{-|t|}\)?
Ne sono certo, ahimè! Ma perdonami, la trasformata, ad esempio, di $x(t)=sen|t|$ non si fa scrivendolo in forma esponenziale? ( Il mio esercizio chiede proprio quella trasformata lì, ossia di $x(t)=e^(-j|t|)$ , ma mi rendo conto che che questa trasformata ha anche altre applicazioni!)
L'esponenziale all'infinito va a 0
Mentre quando lo valuti in 0 vale 1
Mentre quando lo valuti in 0 vale 1
"Nasmil":
L'esponenziale all'infinito va a 0
Mentre quando lo valuti in 0 vale 1
c'è un $w$ che varia in $R$, inoltre la funzione esponenziale in campo complesso è periodica, per cui il limite all'infinito non esiste.
Incredibilmente, dopo mesi in cui quest'esercizio sembrava un mistero, stamani mi alzo dal letto e la prima cosa a che mi frulla per la testa è la giusta soluzione al problema.
Per la definizione di valore assoluto si ha:
$x(t)=e^(-j|t|)={ ( e^(-jt) (se t>0 )),( e^(jt) (se t<0) ):}=e^(-jt)u(t) + e^(jt)u(-t)$
Dove con $u(t)$ intendo la Theta di Heaviside, che vale 1 quando l'argomento è maggiore di 0. La mia trasformata diventa:
$F(e^(-j|t|))=F(e^(-jt)u(t) + e^(jt)u(-t))=F(e^(-jt)u(t) )+F(e^(jt)u(-t))=F(u(t))_(w+1) +F(u(t))_(1-w)= (2j)/(w^2-1)+ pi(delta(w+1)+delta(1-w))$
Nella prima trasformata ho usato la proprietà del traslazione nel dominio delle frequenze, nella seconda oltre a questa quella del riscalamento di $-1$.
Per la definizione di valore assoluto si ha:
$x(t)=e^(-j|t|)={ ( e^(-jt) (se t>0 )),( e^(jt) (se t<0) ):}=e^(-jt)u(t) + e^(jt)u(-t)$
Dove con $u(t)$ intendo la Theta di Heaviside, che vale 1 quando l'argomento è maggiore di 0. La mia trasformata diventa:
$F(e^(-j|t|))=F(e^(-jt)u(t) + e^(jt)u(-t))=F(e^(-jt)u(t) )+F(e^(jt)u(-t))=F(u(t))_(w+1) +F(u(t))_(1-w)= (2j)/(w^2-1)+ pi(delta(w+1)+delta(1-w))$
Nella prima trasformata ho usato la proprietà del traslazione nel dominio delle frequenze, nella seconda oltre a questa quella del riscalamento di $-1$.
Mi sembra una idea gagliarda
"dissonance":
Mi sembra una idea gagliarda
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo