Trasformata di fourier della funzione gradino
Ciao a tutti. Avrei alcune domande da farvi riguardo la trasformata di fourier della funzione gradino. In pratica ho che
$ H(k)=\int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} H(x-x_0) dx = int_(x_0)^(infty) e^{-ikx} dx $
perchè per x < x_0 la funzione è uguale a zero
Ora ciò che non mi è chiaro è il concetto di limite valore principale. Nei miei appunti mi ritrovo che: in questo caso non è possibile applicare il limite valore principale in quanto x_0 è fissato, quindi a priori non posso determinare convergenza o meno. Posso procedere facendo la sostituzione $k=k-i \epsilon$, in questo modo, mandando $\epsilon \to 0$ ottengo la convergenza dell'integrale
Come definizione di valore principale io faccio riferimento al valore principale delle funzioni polidrome, però non capisco come si ricolleghi alle altre affermazioni
Deve essere qualcosa di banale ma ormai mi sono incartato
$ H(k)=\int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} H(x-x_0) dx = int_(x_0)^(infty) e^{-ikx} dx $
perchè per x < x_0 la funzione è uguale a zero
Ora ciò che non mi è chiaro è il concetto di limite valore principale. Nei miei appunti mi ritrovo che: in questo caso non è possibile applicare il limite valore principale in quanto x_0 è fissato, quindi a priori non posso determinare convergenza o meno. Posso procedere facendo la sostituzione $k=k-i \epsilon$, in questo modo, mandando $\epsilon \to 0$ ottengo la convergenza dell'integrale
Come definizione di valore principale io faccio riferimento al valore principale delle funzioni polidrome, però non capisco come si ricolleghi alle altre affermazioni
Deve essere qualcosa di banale ma ormai mi sono incartato
Risposte
Trovo curioso - e bello - sapere che qualcuno, in giro per il mondo, ha scritto un pdf che si intitola: "The Fourier transform of the Heaviside function: a tragedy". E sì, perché questo "esercizio" della tragedia ha indubbiamente qualcosa: da quel poco che ne so, è una di quelle cose che un ingegnere divora a velocità spaventosa mentre, invece, un povero matematico deve prendere il digestivo per mandare giù tutto quanto. Giustificare tutto nel dettaglio è operazione doverosa ma delicata, insomma occorre qualche riflessione in più del solito, meccanico calcolo della trasformata (ma questo uno lo intuisce già dal fatto che la Heaviside non è $L^1(RR)$).
Tornando serio, qui trovi il pdf: riassume le idee chiave che si nascondono dietro al calcolo senza scendere troppo nel dettaglio (dipende anche da chi sei e da dove vuoi andare: dimmi, sei matematico o ingegnere?). Prova a darci un'occhiata e poi eventualmente facci sapere; saremo lieti di discutere con te più nel dettaglio della questione.
Tornando serio, qui trovi il pdf: riassume le idee chiave che si nascondono dietro al calcolo senza scendere troppo nel dettaglio (dipende anche da chi sei e da dove vuoi andare: dimmi, sei matematico o ingegnere?). Prova a darci un'occhiata e poi eventualmente facci sapere; saremo lieti di discutere con te più nel dettaglio della questione.
Ciao Paolo90 =) sono iscritto a fisica e ho iniziato da un paio di giorni a studiare serie e trasformate di fourier e le rispettive proprietà. Ciò che non mi credo sia un problema di notazione o di alcune definizioni che non ho ben chiare. Cioè , se considero questo integrale:
$ \int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} dx = \lim_{N \to infty} \int_(-N)^(N) e^{-ikx} dx$
grazie alla condizione di Dini e al teorema di Riemann_Lebegue converge alla delta di Dirac
Ora nel caso in cui
$ H(k)=\int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} H(x-x_0) dx = int_(x_0)^(infty) e^{-ikx} dx $
facendo questa sostituzione $k=k-i \epsilon$ , mi ritrovo con
$ lim_(epsilon -> 0) e^{-ikx_0}/{i(k-i epsilon)} $
e non capisco perchè
$ \int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} dx = \lim_{N \to infty} \int_(-N)^(N) e^{-ikx} dx$
grazie alla condizione di Dini e al teorema di Riemann_Lebegue converge alla delta di Dirac
Ora nel caso in cui
$ H(k)=\int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} H(x-x_0) dx = int_(x_0)^(infty) e^{-ikx} dx $
facendo questa sostituzione $k=k-i \epsilon$ , mi ritrovo con
$ lim_(epsilon -> 0) e^{-ikx_0}/{i(k-i epsilon)} $
e non capisco perchè
Ciao Paolo90 =) sono iscritto a fisica e ho iniziato da un paio di giorni a studiare serie e trasformate di fourier e le rispettive proprietà. Ciò che non mi credo sia un problema di notazione o di alcune definizioni che non ho ben chiare. Cioè , se considero questo integrale:
$ \int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} dx = \lim_{N \to infty} \int_(-N)^(N) e^{-ikx} dx$
grazie alla condizione di Dini e al teorema di Riemann_Lebegue converge alla delta di Dirac
Ora nel caso in cui
$ H(k)=\int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} H(x-x_0) dx = int_(x_0)^(infty) e^{-ikx} dx $
facendo questa sostituzione $k=k-i \epsilon$ , mi ritrovo con
$ lim_(epsilon -> 0) e^{-ikx_0}/{i(k-i epsilon)} $
e non capisco perchè
[edit: rinvio il messaggio perchè tra i miei messaggi compare mentre nella pagina principale mi dice che l'ultima risposta è di Paolo90. Inoltre ieri non sono riuscito ad accedere al sito tutta la giornata. E' a causa della mia connessione o c'è stato qualche problema?
]
$ \int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} dx = \lim_{N \to infty} \int_(-N)^(N) e^{-ikx} dx$
grazie alla condizione di Dini e al teorema di Riemann_Lebegue converge alla delta di Dirac
Ora nel caso in cui
$ H(k)=\int_(-infty)^(infty) e^{-ikx} H(x-x_0) dx = int_(x_0)^(infty) e^{-ikx} dx $
facendo questa sostituzione $k=k-i \epsilon$ , mi ritrovo con
$ lim_(epsilon -> 0) e^{-ikx_0}/{i(k-i epsilon)} $
e non capisco perchè
[edit: rinvio il messaggio perchè tra i miei messaggi compare mentre nella pagina principale mi dice che l'ultima risposta è di Paolo90. Inoltre ieri non sono riuscito ad accedere al sito tutta la giornata. E' a causa della mia connessione o c'è stato qualche problema?
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Sinceramente non capisco i tuoi dubbi. E' "ovvio" che i risultati che vengono fuori sono diversi, stai integrando funzioni diverse! La Heaviside non si "vede", ma si sente, dal momento che tronca il dominio di integrazione. In soldoni, se ho capito bene, ti stai chiedendo perché i due integrali
\[
\int_{\mathbb R} e^{-ikx} dx
\]
e
\[
\int_0^{\infty} e^{-ikx} dx
\]
sono diversi.
Oppure forse ti stai chiedendo come ha fatto a svolgere il secondo integrale?
\[
\int_{\mathbb R} e^{-ikx} dx
\]
e
\[
\int_0^{\infty} e^{-ikx} dx
\]
sono diversi.
Oppure forse ti stai chiedendo come ha fatto a svolgere il secondo integrale?
Ciò che non ho ben chiaro è perchè sia necessaria la seguente sostituzione
$ int_(x_0)^(infty) e^{-ikx} dx $
facendo questa sostituzione $k=k-i \epsilon$
cioè non ho ben capito come svolgere l'integrale
$ int_(x_0)^(infty) e^{-ikx} dx $
facendo questa sostituzione $k=k-i \epsilon$
cioè non ho ben capito come svolgere l'integrale
Il perché si debba fare quella sostituzione è presto spiegato.
Semplicemente, chiediti: come posso calcolare quell'integrale? Che strategia adottare? Che metodo "applicare"? Come tu stesso affermi, se il dominio fosse stato tutto $RR$, allora potresti scrivere quel limite (quello che riporti nel primo topic) e poi cercare di usare Riemann-Lebesgue. Ma qui? Che cosa puoi fare?
Le motivazioni di quella sostituzione (o di altre ancora più corrette) le trovi spiegate nel pdf che ti ho linkato.
Semplicemente, chiediti: come posso calcolare quell'integrale? Che strategia adottare? Che metodo "applicare"? Come tu stesso affermi, se il dominio fosse stato tutto $RR$, allora potresti scrivere quel limite (quello che riporti nel primo topic) e poi cercare di usare Riemann-Lebesgue. Ma qui? Che cosa puoi fare?
Le motivazioni di quella sostituzione (o di altre ancora più corrette) le trovi spiegate nel pdf che ti ho linkato.
Una cosa che non sapevo era la definizione di valor principale di Cauchy definito come
$ PVint_(-infty)^(infty) f(x) dx=lim_(R -> infty) int_(-R)^(R) f(x) dx $
se un integrale improprio è convergente allora esso è convergente anche secondo il valore principale di Cauchy. Il viceversa in generale è falso.
ora, come è scritto anche nel pdf, non posso fare direttamente l'integrale perchè
$ lim_(x -> infty) e^{-ikx} $
non esiste!
Però non sono riuscito a capire perchè
$ lim_(x -> infty) e^{-i(k-i \epsilon)x} $
dovrebbe esistere?
$ PVint_(-infty)^(infty) f(x) dx=lim_(R -> infty) int_(-R)^(R) f(x) dx $
se un integrale improprio è convergente allora esso è convergente anche secondo il valore principale di Cauchy. Il viceversa in generale è falso.
ora, come è scritto anche nel pdf, non posso fare direttamente l'integrale perchè
$ lim_(x -> infty) e^{-ikx} $
non esiste!
Però non sono riuscito a capire perchè
$ lim_(x -> infty) e^{-i(k-i \epsilon)x} $
dovrebbe esistere?
"Nick_93":
Però non sono riuscito a capire perchè
$ lim_(x -> infty) e^{-i(k-i \epsilon)x} $
dovrebbe esistere?
Be',
\[
e^{-i(k-i\varepsilon)x} = e^{-ikx} e^{-\varepsilon x}.
\]
Inoltre, limitata per infinitesima è...
Ok ok ci sono
quindi posso fare quella sostituzione perchè per $\epsilon \to 0$ riottengo comunque la funzione, però così facendo posso procedere facendo prima il limite per $x \to infty$ senza avere nessun tipo di problema e infine facendo tendere $\epsilon$ a zero ottengo il risultato
quindi posso fare quella sostituzione perchè per $\epsilon \to 0$ riottengo comunque la funzione, però così facendo posso procedere facendo prima il limite per $x \to infty$ senza avere nessun tipo di problema e infine facendo tendere $\epsilon$ a zero ottengo il risultato
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