Trasformata di Fourier della derivata di funzione espansa
Salve a tutti,
ho un dubbio su una trasformata di Fourier, la seguente:
$ \mathcal{F} { (d^n f(kt))/(dt^n) } $
Ora: indicando con $ F(j\Omega) $ la trasformata di $ f(t) $, per il teorema dell'espansione si ha:
$ \mathcal{F} { f(kt) } = 1/(|k|) F(j \Omega/k)$.
Mentre per quanto riguarda la derivata si ha:
$ \mathcal{F} { (d^n f(t))/(dt^n) } = (j\Omega)^n F(j\Omega) $.
DOMANDA:
E' corretta questa mia conclusione:
$ \mathcal{F} { (d^n f(kt))/(dt^n) } = (j\Omega)^n 1/(|k|) F(j\Omega/k) $?
Grazie in anticipo,
Giacomo.
_______________________________
RISPOSTA PROVVISORIA:
Sì, se consideriamo la trasformata di Fourier un operatore lineare, pertanto leciti i passaggi sovrastanti.
ho un dubbio su una trasformata di Fourier, la seguente:
$ \mathcal{F} { (d^n f(kt))/(dt^n) } $
Ora: indicando con $ F(j\Omega) $ la trasformata di $ f(t) $, per il teorema dell'espansione si ha:
$ \mathcal{F} { f(kt) } = 1/(|k|) F(j \Omega/k)$.
Mentre per quanto riguarda la derivata si ha:
$ \mathcal{F} { (d^n f(t))/(dt^n) } = (j\Omega)^n F(j\Omega) $.
DOMANDA:
E' corretta questa mia conclusione:
$ \mathcal{F} { (d^n f(kt))/(dt^n) } = (j\Omega)^n 1/(|k|) F(j\Omega/k) $?
Grazie in anticipo,
Giacomo.
_______________________________
RISPOSTA PROVVISORIA:
Sì, se consideriamo la trasformata di Fourier un operatore lineare, pertanto leciti i passaggi sovrastanti.
Risposte
Confermo, lo stesso principio lo riscontro spesso nelle trasformate di laplace... spesso mi capitano polinomi razionali da trasformare con esponenziali a prodotto quindi penso che le varie regole siano sovrapponibili tranquillamente...la prova del nove la puoi ricavare da te risolvendo gli integrali in forma generica e vedi di dimostrarlo 
Vuoi calcolare:
\[
\mathcal{F} \left[ \frac{\text{d}^n}{\text{d}t^n}[f(kt)] \right]\;
\]
oppure
\[
\mathcal{F} \left[ f^{(n)}(kt) \right]\; ?
\]
Sono due cose diverse...
Ad esempio, se \(f(x)=x^3\), hai:
\[
f^{\prime \prime}(\pi t) = f^{\prime \prime}(x)\Big|_{x=\pi t} = 6\pi t\; ,
\]
mentre:
\[
\frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} [f(\pi t)] =\frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} \left[ \pi^3t^3\right] = 6\pi^3 t\; .
\]
\[
\mathcal{F} \left[ \frac{\text{d}^n}{\text{d}t^n}[f(kt)] \right]\;
\]
oppure
\[
\mathcal{F} \left[ f^{(n)}(kt) \right]\; ?
\]
Sono due cose diverse...
Ad esempio, se \(f(x)=x^3\), hai:
\[
f^{\prime \prime}(\pi t) = f^{\prime \prime}(x)\Big|_{x=\pi t} = 6\pi t\; ,
\]
mentre:
\[
\frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} [f(\pi t)] =\frac{\text{d}^2}{\text{d} t^2} \left[ \pi^3t^3\right] = 6\pi^3 t\; .
\]
"gugo82":
Vuoi calcolare:
\[
\mathcal{F} \left[ \frac{\text{d}^n}{\text{d}t^n}[f(kt)] \right]\;
\]
oppure
\[
\mathcal{F} \left[ f^{(n)}(kt) \right]\; ?
\]
Sono due cose diverse...
[...]
La prima che hai scritto:
$ \mathcal{F} \{ \frac{\text{d}^n f(kt)}{\text{d}t^n} \} $
E, naturalmente, la strada proposta da Giorgio902:
"Giorgio902":
[...] la prova del nove la puoi ricavare da te risolvendo gli integrali in forma generica e vedi di dimostrarlo
è la migliore. Quindi provo a percorrerla a beneficio mio e di tutti.
1. Teorema dell'espansione: $ \mathcal{F} { f(kt) } = 1/(|k|) F(j\Omega/k) $
$ {:
(\mathcal{F} { f(kt) } = int_(-oo )^(+oo) f(kt) e^{-j \Omega t} dt =),
( = (1)/(|k|) int_(-oo )^(+oo) f(kt) e^{-j (\Omega)/(k)(kt)} d(kt)= ),
(= (1)/(|k|) F (j (\Omega)/(k)))
:}
$
2. Teorema della derivazione: $ \mathcal{F} \{ \frac{\text{d}^n f(t)}{\text{d}t^n} \} = (j \Omega)^n F(j \Omega) $
2.1. Integrando per parti - relativamente alla derivata prima - si ottiene:
$
{:
(\mathcal{F} \{ \frac{\text{d} f(t)}{\text{d}t} \} =),
( = int_(-oo )^(+oo) \frac{\text{d} f(t)}{\text{d}t}e^{-j \Omega t} \text{d}t =),
( = e^{-j \Omega t} f(t) \|_{t=-oo}^{t=+oo}- int_(-oo )^(+oo)-j \Omega e^{-j \Omega t} f(t) \text{d}t =),
( = j \Omega int_(-oo )^(+oo) f(t) e^{-j \Omega t} \text{d}t = j \Omega F(j \Omega))
:}
$
Il primo termine scompare poiché $ f(t) $ è assolutamente integrabile in $ mathbb(R) $.
2.2. Derivata n-esima.
Nei testi tutti si limitano a dire: "si procede per ricorsione". Mi sembra un po' debole come dimostrazione (e tenete presente che io sono un ingegnere).
3. Trasformata di Fourier della derivata (seconda) di funzione espansa
In definitiva, giocando a carte scoperte, è questa la dimostrazione che vado cercando.
Grazie in anticipo a chiunque mi fornirà una risposta.
"galessandroni":
3. Trasformata di Fourier della derivata (seconda) di funzione espansa
In definitiva, giocando a carte scoperte, è questa la dimostrazione che vado cercando.
Grazie in anticipo a chiunque mi fornirà una risposta.
Non ho ben capito se hai già trovato la soluzione o la stai ancora cercando... comunque guarda qui...
questa è corretta...
$\mathcal{F} { f(kt) } = 1/(|k|) F(j \Omega/k)$
anche questa...
$\mathcal{F} { (d^n f(t))/(dt^n) } = (j\Omega)^n F(j\Omega)$
questa invece no...
$\mathcal{F} { (d^n f(kt))/(dt^n) } = (j\Omega)^n 1/(|k|) F(j\Omega/k)$
va corretta così...
$\mathcal{F} { (d^n f(kt))/(dt^n) } = ((j\Omega)/k)^n 1/(|k|) F(j\Omega/k)$
In pratica la regola per l'espansione temporale suona così: "dovunque c'è $\Omega$ scrivi $\Omega /k$, anche fuori dalla $F$ ". In pratica è un cambio di variabile.
Intanto ti ringrazio al volo - devo ancora mangiare - poi ti risponderò con calma, ma il tuo "suona così" in effetti mi convince abbastanza.
Per il resto, purtroppo, "I still haven't found what I'm looking for..." (U2, cit.)
Sto cercando di fare una trasformata (spaziale e temporale, da qui quella $ k $ che in realtà è una velocità) di un'accelerazione. La legge del moto è incognita.
La trasformata spaziale mi funziona, nel senso che ottengo quello che cerco, quella temporale no, ora ancora meno ma... questo è materiale per un altro post.
Grazie ancora,
Giacomo.
Per il resto, purtroppo, "I still haven't found what I'm looking for..." (U2, cit.)
Sto cercando di fare una trasformata (spaziale e temporale, da qui quella $ k $ che in realtà è una velocità) di un'accelerazione. La legge del moto è incognita.
La trasformata spaziale mi funziona, nel senso che ottengo quello che cerco, quella temporale no, ora ancora meno ma... questo è materiale per un altro post.
Grazie ancora,
Giacomo.
Mmmmm, scusate, ma non ci sono termini di troppo?
Innanzitutto, dico che faccio i conti con la trasformata definita nel modo seguente:
\[
\mathcal{F}[u(t)](\omega) := \int_{-\infty}^\infty u(t)\ e^{-\jmath\ \omega t}\ \text{d} t\; ,
\]
per la quale la proprietà di riscalamento e di derivazione si scrivono:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}[u(a t)] (\omega) &= \left. \frac{1}{|a|}\ \mathcal{F}[u(t)](\nu)\right|_{\nu = \frac{\omega}{a}}\\
\mathcal{F}[u^{(n)}(t)](\omega) &= \left( \jmath\ \omega\right)^n\ \mathcal{F}[u(t)](\omega)\; .
\end{split}
\]
Ora, posto \(g(t):=f(kt)\), si ha:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}^n}{\text{d} t^n} g(t) &= \frac{\text{d}^n}{\text{d} t^n} \big[f(kt)\big]\\
&= k^n\ f^{(n)}(kt)
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}\left[ \frac{\text{d}^n}{\text{d} t^n} g(t)\right](\omega ) &= k^n\ \mathcal{F}\left[ f^{(n)}(kt)\right](\omega )\\
&= \left. k^n\ \frac{1}{|k|}\ \mathcal{F}\left[ f^{(n)}(t)\right](\nu ) \right|_{\nu =\frac{\omega}{k}}\\
&= \left. k^n\ \frac{1}{|k|}\ \left( \jmath\ \nu\right)^n\ \mathcal{F}\left[ f(t)\right](\nu) \right|_{\nu = \frac{\omega}{k}}\\
&= \left( \jmath\ \frac{\omega}{k}\ k\right)^n\ \frac{1}{|k|}\ F\left( \frac{\omega}{k}\right)\\
&= \left( \jmath\ \omega \right)^n\ \frac{1}{|k|}\ F\left( \frac{\omega}{k}\right)\; .
\end{split}
\]
No?
Innanzitutto, dico che faccio i conti con la trasformata definita nel modo seguente:
\[
\mathcal{F}[u(t)](\omega) := \int_{-\infty}^\infty u(t)\ e^{-\jmath\ \omega t}\ \text{d} t\; ,
\]
per la quale la proprietà di riscalamento e di derivazione si scrivono:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}[u(a t)] (\omega) &= \left. \frac{1}{|a|}\ \mathcal{F}[u(t)](\nu)\right|_{\nu = \frac{\omega}{a}}\\
\mathcal{F}[u^{(n)}(t)](\omega) &= \left( \jmath\ \omega\right)^n\ \mathcal{F}[u(t)](\omega)\; .
\end{split}
\]
Ora, posto \(g(t):=f(kt)\), si ha:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}^n}{\text{d} t^n} g(t) &= \frac{\text{d}^n}{\text{d} t^n} \big[f(kt)\big]\\
&= k^n\ f^{(n)}(kt)
\end{split}
\]
quindi:
\[
\begin{split}
\mathcal{F}\left[ \frac{\text{d}^n}{\text{d} t^n} g(t)\right](\omega ) &= k^n\ \mathcal{F}\left[ f^{(n)}(kt)\right](\omega )\\
&= \left. k^n\ \frac{1}{|k|}\ \mathcal{F}\left[ f^{(n)}(t)\right](\nu ) \right|_{\nu =\frac{\omega}{k}}\\
&= \left. k^n\ \frac{1}{|k|}\ \left( \jmath\ \nu\right)^n\ \mathcal{F}\left[ f(t)\right](\nu) \right|_{\nu = \frac{\omega}{k}}\\
&= \left( \jmath\ \frac{\omega}{k}\ k\right)^n\ \frac{1}{|k|}\ F\left( \frac{\omega}{k}\right)\\
&= \left( \jmath\ \omega \right)^n\ \frac{1}{|k|}\ F\left( \frac{\omega}{k}\right)\; .
\end{split}
\]
No?
Grazie gugo82, grazie per la risposta e per il suo rigore.
Che - tuttavia - mi riporta al mio primo post: la soluzione è la medesima.
$ \mathcal{F}[ \frac{\text{d}^n}{\text{d} t^n} g(t)](\Omega ) = ( j \Omega )^n\ \frac{1}{|k|}\ F(j \frac{\Omega}{k}) $
Tu mi hai aiutato a comprendere perché nel termine $ (j \frac{\Omega}{k})^n $ esplicitando il calcolo il termine $ k $ a denominatore non è presente.
Grazie ancora,
Giacomo.
Che - tuttavia - mi riporta al mio primo post: la soluzione è la medesima.
$ \mathcal{F}[ \frac{\text{d}^n}{\text{d} t^n} g(t)](\Omega ) = ( j \Omega )^n\ \frac{1}{|k|}\ F(j \frac{\Omega}{k}) $
Tu mi hai aiutato a comprendere perché nel termine $ (j \frac{\Omega}{k})^n $ esplicitando il calcolo il termine $ k $ a denominatore non è presente.
Grazie ancora,
Giacomo.
Prego... Ma comunque continuo a non vedere perché ci debba essere una \(\jmath\) dentro l'argomento della \(F\).
"gugo82":
Prego... Ma comunque continuo a non vedere perché ci debba essere una \(\jmath\) dentro l'argomento della \(F\).
Caro gogo82,
la risposta la rigiro alla mia bibbia:
Sanjit K. Mitra, University of California - Santa Barbara - Digital Signal Processing: A Computer-Based Approach, 4/e
Mitra utilizza sempre questo formato nella Trasformata di Fourier, di conseguenza, considerandolo uno dei massimi esperti di elaborazione dei segnali, lo utilizzo anch'io.
Ma non è detto che il suo modo di scrivere sia più corretto del tuo, anche se - da ingegnere - lo ritengo un dettaglio (una volta chiarito che $ F(\omega) $ o $ F(j \Omega) $ sono la Trasformata di Fourier di una generica $ f(t) $, comunque la si voglia scrivere).
Mah... Devo dire la verità è la prima volta che trovo una notazione del genere e non so a cosa possa servire.
Se proprio me ne devo andare per un'idea posso ipotizzare che, nelle applicazioni, numeri reali puri e numeri immaginari puri coincidano usualmente con grandezze diverse (più o meno come nei fasori, ad esempio); quindi dato che \(\Omega\) è una roba che va interpretata come un immaginario puro, al posto di \(\Omega\) scrivo in maniera più efficace \(\jmath \Omega\)).
Quanto ci sono andato vicino?
Se proprio me ne devo andare per un'idea posso ipotizzare che, nelle applicazioni, numeri reali puri e numeri immaginari puri coincidano usualmente con grandezze diverse (più o meno come nei fasori, ad esempio); quindi dato che \(\Omega\) è una roba che va interpretata come un immaginario puro, al posto di \(\Omega\) scrivo in maniera più efficace \(\jmath \Omega\)).
Quanto ci sono andato vicino?
"gugo82":
Mah... Devo dire la verità è la prima volta che trovo una notazione del genere e non so a cosa possa servire.
Se proprio me ne devo andare per un'idea posso ipotizzare che, nelle applicazioni, numeri reali puri e numeri immaginari puri coincidano usualmente con grandezze diverse (più o meno come nei fasori, ad esempio); quindi dato che \(\Omega\) è una roba che va interpretata come un immaginario puro, al posto di \(\Omega\) scrivo in maniera più efficace \(\jmath \Omega\)).
Quanto ci sono andato vicino?
Scusa il ritardo con cui ti rispondo (ero in ferie).
Abbastanza.
In elettrotecnica l'impedenza $ Z $ è una grandezza vettoriale che rappresenta la forza che si oppone al passaggio di una corrente elettrica alternata, o - più in generale - di una corrente variabile.
Si ha:
$ Z = V/I = R + jX $
dove $ R $ è la resistenza (quella che produce lavoro), mentre $ X $ è la reattanza (non produce lavoro, ma implica il trasferimento di energia) che può essere induttiva o capacitiva (a seconda del segno).
Senza quella $ j $ i termini $ R $ ed $ X $ verrebbero sommati. Invece con $ R + jX $ ho un formato vettoriale che mi esprime - tra le altre cose - lo sfasamento tra tensione e corrente, quale componente tra induttiva e capacitiva prevale e molto altro.
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