Trasformata di Fourier della convoluzione.
Salve a tutti,
devo trovare la trasformata di Fourier del seguente segnale $g(x) = sin(x) int_-oo^(+oo) f(t) chi_[[0,1]](x-t)dt$
Inoltre è noto che $f(x)$ è trasformabile ad ha come trasformata $f(xi)$ ed $g(x)$ è integrabile.
Ora si nota immediatamente che l'integrale altro non è che una convoluzione tra $f(x)$ e $ chi_[[0,1]](x)$ e se dovessi trovare la trasformata di solo questo termine sapendo che $F(f ** g) = f(xi)g(xi)$ ovvero che la trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate delle due funzioni, troverei la trasformata di $chi_[[0,1]](x) $ e la moltiplicherei per $f(xi)$.
Il mio problema è: quel $sin(x)$ che mi è a moltiplicare la convoluzione come si tratta ai fini di trovare la trasformata di fourier??
Naturalmente il mio problema rimarrebbe anche se vi fosse un altra funzione a moltiplicare e non solo $sin(x)$ come in questo caso. Se vi vosse una costante invece non avrei problemi ma una funzione mi mette in crisi
Mi date una mano? Grazie a tutti
devo trovare la trasformata di Fourier del seguente segnale $g(x) = sin(x) int_-oo^(+oo) f(t) chi_[[0,1]](x-t)dt$
Inoltre è noto che $f(x)$ è trasformabile ad ha come trasformata $f(xi)$ ed $g(x)$ è integrabile.
Ora si nota immediatamente che l'integrale altro non è che una convoluzione tra $f(x)$ e $ chi_[[0,1]](x)$ e se dovessi trovare la trasformata di solo questo termine sapendo che $F(f ** g) = f(xi)g(xi)$ ovvero che la trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate delle due funzioni, troverei la trasformata di $chi_[[0,1]](x) $ e la moltiplicherei per $f(xi)$.
Il mio problema è: quel $sin(x)$ che mi è a moltiplicare la convoluzione come si tratta ai fini di trovare la trasformata di fourier??

Naturalmente il mio problema rimarrebbe anche se vi fosse un altra funzione a moltiplicare e non solo $sin(x)$ come in questo caso. Se vi vosse una costante invece non avrei problemi ma una funzione mi mette in crisi

Mi date una mano? Grazie a tutti
Risposte
Allora una delle regole di trasformzione è la seguente:
$F[senx g(x)]=1/(2i) * ( G(f - f_0) - G(f + f_0))$
dove f_0 è la frequenza della sinusoide, mentre G(f) e la trasf. di Fourire di g(x).
$F[senx g(x)]=1/(2i) * ( G(f - f_0) - G(f + f_0))$
dove f_0 è la frequenza della sinusoide, mentre G(f) e la trasf. di Fourire di g(x).
Ma certo
che scemo. Con la tua indicazione sono riuscito a risolvere il problema senza problemi. Ora già che ci siamo espongo un altro problema che è quasi del tutto simile al precedente ma anche in questo caso non riesco ad uscirne:
$g(x) = xe^(ix)int_-oo^(+oo) f(x-t) sin(t)dt$
Anche in questo caso il secondo termine è una convoluzione di cui è nota la trasformata ed è $F[f(x)]F[sin(x)]$ ed il termine $xe^(ix)$? Ho cercato ad arrivare ad un risultato simile al primo cercando qualche proprietà simile a quella usata precedentemente ovvero $F[sin(ax)f(x)] = 1/(2i) * ( G(f - a) - G(f + a))$ ma non sono riuscito a trovarne.
Indicazioni??

$g(x) = xe^(ix)int_-oo^(+oo) f(x-t) sin(t)dt$
Anche in questo caso il secondo termine è una convoluzione di cui è nota la trasformata ed è $F[f(x)]F[sin(x)]$ ed il termine $xe^(ix)$? Ho cercato ad arrivare ad un risultato simile al primo cercando qualche proprietà simile a quella usata precedentemente ovvero $F[sin(ax)f(x)] = 1/(2i) * ( G(f - a) - G(f + a))$ ma non sono riuscito a trovarne.
Indicazioni??
Ma scusa, in generale quando hai $h \cdot (f$*$g)$ e ne vuoi fare la trasformata di Fourier devi applicare la regola generale
prodotto $\mapsto$ convoluzione
e poi
convoluzione $\mapsto$ prodotto,
quindi (a meno di costanti)
$F(h \cdot (f$*$g)) = F(h)$*$F(f$*$g) = F(h)$*$(F(f) \cdot F(g))$
prodotto $\mapsto$ convoluzione
e poi
convoluzione $\mapsto$ prodotto,
quindi (a meno di costanti)
$F(h \cdot (f$*$g)) = F(h)$*$F(f$*$g) = F(h)$*$(F(f) \cdot F(g))$
Grazie irenze per l'input. Io però stavo cercando una via per non dover far la convoluzione. Con il tuo metodo sono necessario 3 trasformata e una convoluzione ecco io stavo cercando il modo di non fare la convoluzione (come è avvenuto per la prima trasformata) solo che non riesco a vederlo.
Oltre al fatto che la convoluzione di una trasformata non sarebbe semplice per niente.
Oltre al fatto che la convoluzione di una trasformata non sarebbe semplice per niente.
Già, ma anche in questo caso è facile. Infatti, come ben sai, l'operatore di moltiplicazione per $x$ diventa l'operatore di derivazione rispetto a $\xi$, quindi la trasformata di Fourier di $x e^{ix}$ altri non è che ($i$ per) la derivata della delta di Dirac centrata in $-1$.
Quindi il tuo problema diventa... Beh, a questo punto lo sai fare da solo spero (la derivata della delta è la delta applicata alla derivata, con un meno davanti).
Quindi il tuo problema diventa... Beh, a questo punto lo sai fare da solo spero (la derivata della delta è la delta applicata alla derivata, con un meno davanti).
Allora vediamo se pian piano ne veniamo a capo.
la trasformata di $xe^(ix) => d/(d(xi))2ipi delta(xi-1) $ la cui derivata è $-2ipi delta(xi-1)$
La trasformata di $sin(x) => pi/i[delta(xi-1)-delta(xi+1)]$ quindi non ci rimane che fare la seguente convoluzione: $-2ipidelta(xi-1) ** f(xi)pi/i[delta(xi-1)-delta(xi+1)]$ o equivalentemente $-2ipidelta(xi-1) ** -f(xi)ipi[delta(xi-1)-delta(xi+1)]$ e ancora $-ipi[2delta(xi-1) ** f(xi)[delta(xi-1)-delta(xi+1)]]$
Se finquì o fatto bene e sapendo che $f(x)**delta(x-x_o) = f(x-x_o)$ puoi darmi una mano a fare questa convoluzione prima che spari delle cavolate??
Grazie
la trasformata di $xe^(ix) => d/(d(xi))2ipi delta(xi-1) $ la cui derivata è $-2ipi delta(xi-1)$
La trasformata di $sin(x) => pi/i[delta(xi-1)-delta(xi+1)]$ quindi non ci rimane che fare la seguente convoluzione: $-2ipidelta(xi-1) ** f(xi)pi/i[delta(xi-1)-delta(xi+1)]$ o equivalentemente $-2ipidelta(xi-1) ** -f(xi)ipi[delta(xi-1)-delta(xi+1)]$ e ancora $-ipi[2delta(xi-1) ** f(xi)[delta(xi-1)-delta(xi+1)]]$
Se finquì o fatto bene e sapendo che $f(x)**delta(x-x_o) = f(x-x_o)$ puoi darmi una mano a fare questa convoluzione prima che spari delle cavolate??
Grazie
"kapooo":
Allora vediamo se pian piano ne veniamo a capo.
la trasformata di $xe^(ix) => d/(d(xi))2ipi delta(xi-1) $ la cui derivata è $-2ipi delta(xi-1)$
no, qui ti sbagli: la derivata della delta è - la delta ma applicata alla derivata!
il resto lo controllo quando ho un po' di tempo
