Trasformata di Fourier della convoluzione.

kapooo-votailprof
Salve a tutti,

devo trovare la trasformata di Fourier del seguente segnale $g(x) = sin(x) int_-oo^(+oo) f(t) chi_[[0,1]](x-t)dt$

Inoltre è noto che $f(x)$ è trasformabile ad ha come trasformata $f(xi)$ ed $g(x)$ è integrabile.

Ora si nota immediatamente che l'integrale altro non è che una convoluzione tra $f(x)$ e $ chi_[[0,1]](x)$ e se dovessi trovare la trasformata di solo questo termine sapendo che $F(f ** g) = f(xi)g(xi)$ ovvero che la trasformata di una convoluzione è il prodotto delle trasformate delle due funzioni, troverei la trasformata di $chi_[[0,1]](x) $ e la moltiplicherei per $f(xi)$.

Il mio problema è: quel $sin(x)$ che mi è a moltiplicare la convoluzione come si tratta ai fini di trovare la trasformata di fourier?? :roll:

Naturalmente il mio problema rimarrebbe anche se vi fosse un altra funzione a moltiplicare e non solo $sin(x)$ come in questo caso. Se vi vosse una costante invece non avrei problemi ma una funzione mi mette in crisi :?

Mi date una mano? Grazie a tutti

Risposte
clrscr
Allora una delle regole di trasformzione è la seguente:
$F[senx g(x)]=1/(2i) * ( G(f - f_0) - G(f + f_0))$
dove f_0 è la frequenza della sinusoide, mentre G(f) e la trasf. di Fourire di g(x).

kapooo-votailprof
Ma certo :o che scemo. Con la tua indicazione sono riuscito a risolvere il problema senza problemi. Ora già che ci siamo espongo un altro problema che è quasi del tutto simile al precedente ma anche in questo caso non riesco ad uscirne:
$g(x) = xe^(ix)int_-oo^(+oo) f(x-t) sin(t)dt$
Anche in questo caso il secondo termine è una convoluzione di cui è nota la trasformata ed è $F[f(x)]F[sin(x)]$ ed il termine $xe^(ix)$? Ho cercato ad arrivare ad un risultato simile al primo cercando qualche proprietà simile a quella usata precedentemente ovvero $F[sin(ax)f(x)] = 1/(2i) * ( G(f - a) - G(f + a))$ ma non sono riuscito a trovarne.

Indicazioni??

irenze
Ma scusa, in generale quando hai $h \cdot (f$*$g)$ e ne vuoi fare la trasformata di Fourier devi applicare la regola generale
prodotto $\mapsto$ convoluzione
e poi
convoluzione $\mapsto$ prodotto,
quindi (a meno di costanti)
$F(h \cdot (f$*$g)) = F(h)$*$F(f$*$g) = F(h)$*$(F(f) \cdot F(g))$

kapooo-votailprof
Grazie irenze per l'input. Io però stavo cercando una via per non dover far la convoluzione. Con il tuo metodo sono necessario 3 trasformata e una convoluzione ecco io stavo cercando il modo di non fare la convoluzione (come è avvenuto per la prima trasformata) solo che non riesco a vederlo.

Oltre al fatto che la convoluzione di una trasformata non sarebbe semplice per niente.

irenze
Già, ma anche in questo caso è facile. Infatti, come ben sai, l'operatore di moltiplicazione per $x$ diventa l'operatore di derivazione rispetto a $\xi$, quindi la trasformata di Fourier di $x e^{ix}$ altri non è che ($i$ per) la derivata della delta di Dirac centrata in $-1$.
Quindi il tuo problema diventa... Beh, a questo punto lo sai fare da solo spero (la derivata della delta è la delta applicata alla derivata, con un meno davanti).

kapooo-votailprof
Allora vediamo se pian piano ne veniamo a capo.

la trasformata di $xe^(ix) => d/(d(xi))2ipi delta(xi-1) $ la cui derivata è $-2ipi delta(xi-1)$

La trasformata di $sin(x) => pi/i[delta(xi-1)-delta(xi+1)]$ quindi non ci rimane che fare la seguente convoluzione: $-2ipidelta(xi-1) ** f(xi)pi/i[delta(xi-1)-delta(xi+1)]$ o equivalentemente $-2ipidelta(xi-1) ** -f(xi)ipi[delta(xi-1)-delta(xi+1)]$ e ancora $-ipi[2delta(xi-1) ** f(xi)[delta(xi-1)-delta(xi+1)]]$

Se finquì o fatto bene e sapendo che $f(x)**delta(x-x_o) = f(x-x_o)$ puoi darmi una mano a fare questa convoluzione prima che spari delle cavolate??

Grazie

irenze
"kapooo":
Allora vediamo se pian piano ne veniamo a capo.

la trasformata di $xe^(ix) => d/(d(xi))2ipi delta(xi-1) $ la cui derivata è $-2ipi delta(xi-1)$



no, qui ti sbagli: la derivata della delta è - la delta ma applicata alla derivata!

irenze
il resto lo controllo quando ho un po' di tempo :D

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