Trasformata di fourier con convoluzione, time shift e scalin
ciao a tutti!
volevo chiedervi aiuto perchè non riesco a venire fuori da questa trasformata. quello che devo fare è la trasformata di fourier di:
$h(m)^^h(-m)$
dove dove ^ sta per "convoluzione". il risultato dovrebbe essere il vlore assoluto di $H(omega)^2$
grazie mille
matteo
volevo chiedervi aiuto perchè non riesco a venire fuori da questa trasformata. quello che devo fare è la trasformata di fourier di:
$h(m)^^h(-m)$
dove dove ^ sta per "convoluzione". il risultato dovrebbe essere il vlore assoluto di $H(omega)^2$
grazie mille
matteo
Risposte
Cosa intendi per $h(m)$? grazie ciao!!!
già che ci sei dicci anche cos'è $H(\omega)$....
h(m) è la funzione di cui devo fare la trasformata e H(omega) è la sua trasformata
Per risolvere basta ricordare le proprietà della trasformata di Fourier, cioè:
1. la convoluzione nel dominio trasformato diventa un prodotto.
2. la simmetria della trasformata.
applicati dimostrano il risultato..
1. la convoluzione nel dominio trasformato diventa un prodotto.
2. la simmetria della trasformata.
applicati dimostrano il risultato..
@quattrocchi
l'unica cosa che non capisco è la simmetria, com'è che riesco ad ottenere H(omega) coniugato dalla trasformata di h(-m)?
grazie
l'unica cosa che non capisco è la simmetria, com'è che riesco ad ottenere H(omega) coniugato dalla trasformata di h(-m)?
grazie
cercherò di spiegarmi meglio:
Noi abbiamo due segnali, funzioni, h(t) e h(-t) di cui bisogna calcolare la loro convoluzione, h(t)*h(-t).
Per le proprietà della trasformata, il prodotto di convoluzione nel dominio trasformato diventa un prodotto semplice tra gli spettri.
Supposto che h(t)----->H(f) allora h(-t)---->H(-f) (è dimostrabile tramite il teorema del cambiamento di scala con para,metro $alpha= -1$).Allora abbiamo che h(t)*h(-t)-------->H(f)H(-f).
Per le proprietà delle simmetrie dello spettro si ha che:
$ H(f)=Re(f)+j Im(f) $ di cui $ Re(f)=Re(-f) $ e $ Im(f)= -Im(-f) $.
Quindi $ H(f)H(-f) = [Re(f)+j Im(f)][Re(-f) -j Im(-f) ] = [Re^2(f) + Im ^2(f)] = |H(f)|^2 $
si suppone che h(t) sia reale.
Noi abbiamo due segnali, funzioni, h(t) e h(-t) di cui bisogna calcolare la loro convoluzione, h(t)*h(-t).
Per le proprietà della trasformata, il prodotto di convoluzione nel dominio trasformato diventa un prodotto semplice tra gli spettri.
Supposto che h(t)----->H(f) allora h(-t)---->H(-f) (è dimostrabile tramite il teorema del cambiamento di scala con para,metro $alpha= -1$).Allora abbiamo che h(t)*h(-t)-------->H(f)H(-f).
Per le proprietà delle simmetrie dello spettro si ha che:
$ H(f)=Re(f)+j Im(f) $ di cui $ Re(f)=Re(-f) $ e $ Im(f)= -Im(-f) $.
Quindi $ H(f)H(-f) = [Re(f)+j Im(f)][Re(-f) -j Im(-f) ] = [Re^2(f) + Im ^2(f)] = |H(f)|^2 $
si suppone che h(t) sia reale.
@quattrocchi
ok, posto che ho capito che la trasformata di h(-t) è H(-f) la cosa che non riesco a capire è come fai a dire che H(-f)=Re(-f)-jIm(-f).. perchè il meno davanti alla j? ..e poi ..per scrivere la penultima uguaglianza che scrivi non dovrebbe essere che Re(-f) = Re(f) e Im(-f)=Im(f) ?
ok, posto che ho capito che la trasformata di h(-t) è H(-f) la cosa che non riesco a capire è come fai a dire che H(-f)=Re(-f)-jIm(-f).. perchè il meno davanti alla j? ..e poi ..per scrivere la penultima uguaglianza che scrivi non dovrebbe essere che Re(-f) = Re(f) e Im(-f)=Im(f) ?
Scusa ho sbagliato un segno, voglia perdonarmi:
$ H(f)=Re(f)+jIm(f) $ di cui $ Re(f)=Re(-f) $ e $ Im(f)=-Im(-f) $.
Quindi $ H(f)H(-f)=[Re(f)+jIm(f)][Re(-f)+ j Im(-f)]=[Re(f)+jIm(f)][Re(f)-jIm(f)]=[Re^2(f)+Im^2(f)]=|H(f)|^2 $
$ H(f)=Re(f)+jIm(f) $ di cui $ Re(f)=Re(-f) $ e $ Im(f)=-Im(-f) $.
Quindi $ H(f)H(-f)=[Re(f)+jIm(f)][Re(-f)+ j Im(-f)]=[Re(f)+jIm(f)][Re(f)-jIm(f)]=[Re^2(f)+Im^2(f)]=|H(f)|^2 $
Secondo me la cosa può essere derivata anche dalla definizione, perchè data
$F[h(t)](f) = 1/sqrt{2 \pi} \int_RR h(t) e^(-i f t) dt = H(f)$
ricordando che h(t) è una funzione reale, calcoli
$F[h(-t)](f) = 1/sqrt{2 \pi} \int_RR h(t) e^(i f t) dt = 1/sqrt{2 \pi} \int_RR h(t) \bar{e^(-i f t)} dt = \bar{ 1/sqrt{2 \pi} \int_RR h(t) e^(-i f t) dt } = \bar{H(f)}$
quindi sfruttando la proprietà citata da quattrocchi hai quello che cerchi, cioè
$F[h(t)°h(-t)](f) = F[h(t)](f)*F[h(-t)](f) = H(f) * \bar{H(f)} = |H(f)|^2$
non so se aiuta....ma io la vedo più semplice così...
$F[h(t)](f) = 1/sqrt{2 \pi} \int_RR h(t) e^(-i f t) dt = H(f)$
ricordando che h(t) è una funzione reale, calcoli
$F[h(-t)](f) = 1/sqrt{2 \pi} \int_RR h(t) e^(i f t) dt = 1/sqrt{2 \pi} \int_RR h(t) \bar{e^(-i f t)} dt = \bar{ 1/sqrt{2 \pi} \int_RR h(t) e^(-i f t) dt } = \bar{H(f)}$
quindi sfruttando la proprietà citata da quattrocchi hai quello che cerchi, cioè
$F[h(t)°h(-t)](f) = F[h(t)](f)*F[h(-t)](f) = H(f) * \bar{H(f)} = |H(f)|^2$
non so se aiuta....ma io la vedo più semplice così...
alle.fabri hai aggiunto una nuova visione partendo dalla definizione.
io ho utilizzato sole le proprietà della trasformata indicando nel primo post che si parlava di segnali o funzioni reali....
grazie a te
io ho utilizzato sole le proprietà della trasformata indicando nel primo post che si parlava di segnali o funzioni reali....
grazie a te
grazie mille a tutti quanti per l'aiuto!
la soluzione proposta da alle.fabbri mi ha fatto accendere una lampadina in testa ..mi ero del tutto dimenticato che in quanto h(t) è reale posso tranquillamente farne il coniugato e niente cambia
per quanto riguarda quattrocchi grazie anche a te, anche se non sono per niente convinto (ancora, scusa ..ma è matematica e se non capisco non ci posso fare niente ) perchè non è vero in generale che Re(f) sia uguale a Re(-f). grazie comunque
la soluzione proposta da alle.fabbri mi ha fatto accendere una lampadina in testa ..mi ero del tutto dimenticato che in quanto h(t) è reale posso tranquillamente farne il coniugato e niente cambia
per quanto riguarda quattrocchi grazie anche a te, anche se non sono per niente convinto (ancora, scusa ..ma è matematica e se non capisco non ci posso fare niente ) perchè non è vero in generale che Re(f) sia uguale a Re(-f). grazie comunque
hai ragione Bags.
Comunque volevo dirti che nei miei messaggi avevo posto che h(t) sia una funzione reale. Essendo h(t) reale si può notare che:
1. $ Re(f)=int h(t) cos(2pift) dt $ integrale esteso da meno a più infinito e
2. $Im(f)= - int h(t) sin(2pift) dt $ integrale esteso da meno a più infinito.
da cui segue che la parte reale dello spettro è una funzione pari della frequenza mentre la parte immaginaria è una funzione dispari. Il tutto si sintetizza nella scrittura H(f)=H*(-f).
Le uguaglianze 1 e 2 sono figlie della definizione di trasformata di Fourier: $ H(f)= int h(t) e^(-j2pift)dt $ integrale esteso da meno a più finito.
Spero di essere stato utile.
Comunque volevo dirti che nei miei messaggi avevo posto che h(t) sia una funzione reale. Essendo h(t) reale si può notare che:
1. $ Re(f)=int h(t) cos(2pift) dt $ integrale esteso da meno a più infinito e
2. $Im(f)= - int h(t) sin(2pift) dt $ integrale esteso da meno a più infinito.
da cui segue che la parte reale dello spettro è una funzione pari della frequenza mentre la parte immaginaria è una funzione dispari. Il tutto si sintetizza nella scrittura H(f)=H*(-f).
Le uguaglianze 1 e 2 sono figlie della definizione di trasformata di Fourier: $ H(f)= int h(t) e^(-j2pift)dt $ integrale esteso da meno a più finito.
Spero di essere stato utile.
oh perfetto quattrocchi
così adesso ho anche capito la stessa cosa in un modo diverso, grazie mille
così adesso ho anche capito la stessa cosa in un modo diverso, grazie mille
grazie a te
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