Trasformata di Fourier
Ciao a tutti, ho qualche impedimento a capire bene la trasformata di Fourier della funzione sinc.
Ho: $sin(2t)/(\pit)$ e il libro dà come trasf. $rect(\pi/2f)$
Questo mi pare un pò strano però, perchè $sin(2t)/(\pit)$ può essere visto come: $2/\pisin(2t)/(2t) => 2/\pisinc(2t)$, quindi questo sinc si annulla in $+-\pi/2$, cioè ha estensione $\pi$. quindi non capisco perchè il libro dimezzi la scala. ma per quanto riguarda l' altezza del rect mi sorgono dei dubbi, perchè secondo la regola di scala dovrei avere: $2rect(\pif)$.
Poi un altro esercizio: $sinc(t/5)$ secondo la soluzione diventa: $5rect(5f)$, dove è stata applicata la regola di scala, ma in questo modo non si tiene conto che il sinc ha estensione da: $+-\pi5$, cioè secondo me si dovrebbe avere: $5rect((10t)/\pi)$
Ho commesso qualche errore, o c'è qualche problema di convenzione su come definire la funzione sinc ?
Grazie a tutti..
Ho: $sin(2t)/(\pit)$ e il libro dà come trasf. $rect(\pi/2f)$
Questo mi pare un pò strano però, perchè $sin(2t)/(\pit)$ può essere visto come: $2/\pisin(2t)/(2t) => 2/\pisinc(2t)$, quindi questo sinc si annulla in $+-\pi/2$, cioè ha estensione $\pi$. quindi non capisco perchè il libro dimezzi la scala. ma per quanto riguarda l' altezza del rect mi sorgono dei dubbi, perchè secondo la regola di scala dovrei avere: $2rect(\pif)$.
Poi un altro esercizio: $sinc(t/5)$ secondo la soluzione diventa: $5rect(5f)$, dove è stata applicata la regola di scala, ma in questo modo non si tiene conto che il sinc ha estensione da: $+-\pi5$, cioè secondo me si dovrebbe avere: $5rect((10t)/\pi)$
Ho commesso qualche errore, o c'è qualche problema di convenzione su come definire la funzione sinc ?
Grazie a tutti..
Risposte
Per capire bene dove sta il problema sarebbe meglio che tu definissi cosa è per te [tex]$sinc(t)$[/tex] e come definisci la trasformata di Fourier.
Dal secondo esercizio che hai postato, potrei ricavare che [tex]$sinc(t) = \frac{\sin(\pi t)} {\pi t}$[/tex], e che la trasformata di Fourier la definisci come [tex]$U(f) = \int_{\mathbb{R}} u(t) e^{-i 2\pi f t} dt$[/tex].
Questa scelta porta comporta correttamente che la trasformata di [tex]$u(t) = sinc(t/5)$[/tex] è uguale a [tex]$U(f) = 5 rect(5f)$[/tex], il tutto si ottiene facilmente con le proprietà della trasformata di Fourier e a partire dalla trasformata nota del sinc.
Seguendo la stessa scelta, la trasformata di [tex]$u(t) = \frac{\sin(2t)}{\pi t} = \frac{2}{\pi}sinc(\frac{2t}{\pi})$[/tex] risulta essere [tex]$U(f) = rect(\frac{\pi}{2} f)$[/tex].
Quindi anche questo sembra confermare l'ipotesi che il libro usi la scelta sopracitata per [tex]$sinc$[/tex] e trasformata.
Probabilmente il problema risiede nel fatto che tu probabilmente consideri una definizione diversa di sinc.
Dal secondo esercizio che hai postato, potrei ricavare che [tex]$sinc(t) = \frac{\sin(\pi t)} {\pi t}$[/tex], e che la trasformata di Fourier la definisci come [tex]$U(f) = \int_{\mathbb{R}} u(t) e^{-i 2\pi f t} dt$[/tex].
Questa scelta porta comporta correttamente che la trasformata di [tex]$u(t) = sinc(t/5)$[/tex] è uguale a [tex]$U(f) = 5 rect(5f)$[/tex], il tutto si ottiene facilmente con le proprietà della trasformata di Fourier e a partire dalla trasformata nota del sinc.
Seguendo la stessa scelta, la trasformata di [tex]$u(t) = \frac{\sin(2t)}{\pi t} = \frac{2}{\pi}sinc(\frac{2t}{\pi})$[/tex] risulta essere [tex]$U(f) = rect(\frac{\pi}{2} f)$[/tex].
Quindi anche questo sembra confermare l'ipotesi che il libro usi la scelta sopracitata per [tex]$sinc$[/tex] e trasformata.
Probabilmente il problema risiede nel fatto che tu probabilmente consideri una definizione diversa di sinc.
il sinc lo considero come te.. mah, il caldo deve avermi dato alla testa.. 
Grazie ancora!
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