Trasformata di Fourier
ciao a tutti, volevo chiedervi una veloce informazione:
ho il segnale: $x(t) = sum_{k =-\infty}^{+\infty} (-1)^k trian(2(t - KT))/T$ dove tringle è il triangolo isoscele di base 2 e centrato in $t = 0$ dove essume valore 1. In questo caso avremo un triangolo alto 1 e di base $T/2$ che alternativamente è positivo e negativo.
Ora, mi si chiede la trasfomata di Fourier. Il mio dubbio è: perchè mi viene chiesta la trasformata e non la serie ?
In fondo questo segnale è continuo e periodico, quindi non c'è motivo di estendere la serie tra più e meno infinito. Senza contare che questo segnale è la convoluzione di due rettangoli, quindi per trovarne la serie, basterebbe fare il prodotto delle serie dei rettangoli.
Grazie a tutti..
EDIT. stesso problema per quanto riguarda: $x(t ) = |cos(2\pif_ot)|$
ho il segnale: $x(t) = sum_{k =-\infty}^{+\infty} (-1)^k trian(2(t - KT))/T$ dove tringle è il triangolo isoscele di base 2 e centrato in $t = 0$ dove essume valore 1. In questo caso avremo un triangolo alto 1 e di base $T/2$ che alternativamente è positivo e negativo.
Ora, mi si chiede la trasfomata di Fourier. Il mio dubbio è: perchè mi viene chiesta la trasformata e non la serie ?
In fondo questo segnale è continuo e periodico, quindi non c'è motivo di estendere la serie tra più e meno infinito. Senza contare che questo segnale è la convoluzione di due rettangoli, quindi per trovarne la serie, basterebbe fare il prodotto delle serie dei rettangoli.
Grazie a tutti..
EDIT. stesso problema per quanto riguarda: $x(t ) = |cos(2\pif_ot)|$
Risposte
Fondamentalmente si può vedere la serie di Fourier come caso particolare di trasformata di Fourier, senza perdersi troppo nei formalismi (soprattutto relativamente all'ambito distribuzionale): se $x(t)$ è un segnale periodico di periodo $T$, allora si può scrivere $x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} x_p(t -k/T)$ dove con $x_p(t)$ si indica il segnale di partenza troncato sul periodo $]-T/2,T/2]$.
Questo si può riscrivere anche come $x(t) = x_p(t) \star \delta_T(t)$ con $\delta_T(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t -k/T)$.
Applicando la trasformata di Fourier ($X(f) = \int_\RR x(t) e^{-i2\pi f t} dt$) si ottiene $X(f) = X_p(f) \cdot 1/T \delta_{1/T}(f) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (X_p(k/T))/T \delta(f-k/T)$.
Come ci si aspetta si ha uno spettro del segnale non continuo, ma si hanno dei valori solo nei multipli della frequenza fondamentale $1/T$.
Infatti se chiamiamo $\gamma_k = (X_p(k/T))/T$ si ottiene $X(f) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \gamma_k \delta(f-k/T)$ da cui si ricava che $x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{i2\pi k/T t}$ che altro non è che l'espressione della serie di Fourier del segnale $x$ in forma complessa.
Questo si può riscrivere anche come $x(t) = x_p(t) \star \delta_T(t)$ con $\delta_T(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty}\delta(t -k/T)$.
Applicando la trasformata di Fourier ($X(f) = \int_\RR x(t) e^{-i2\pi f t} dt$) si ottiene $X(f) = X_p(f) \cdot 1/T \delta_{1/T}(f) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} (X_p(k/T))/T \delta(f-k/T)$.
Come ci si aspetta si ha uno spettro del segnale non continuo, ma si hanno dei valori solo nei multipli della frequenza fondamentale $1/T$.
Infatti se chiamiamo $\gamma_k = (X_p(k/T))/T$ si ottiene $X(f) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \gamma_k \delta(f-k/T)$ da cui si ricava che $x(t) = \sum_{k=-\infty}^{+\infty} \gamma_k e^{i2\pi k/T t}$ che altro non è che l'espressione della serie di Fourier del segnale $x$ in forma complessa.
ah capisco, grazie mille, insomma si tratta proprio di una semplice serie di Fourier..
Non che sia inutile lo studio della teoria delle serie di Fourier pura, anzi, però non deve destabilizzare il fatto che ci si possa chiedere in generale la trasformata di Fourier di un segnale, anche se questo è periodico. Ovviamente rispetto alla teoria classica della trasformata (funzioni $L^1$) questo può effettivamente essere assurdo, ma guardando all'estensione alle distribuzioni, tutto viene "unificato".
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