Trasformata di Fourier
Salve, oggi ho iniziato a studiare per conto mio un po' di teoria delle trasformate di Fourier. Per definizione, data una funzione $f(t)$ integrabile, la sua trasformata di Fourier è:
$g(w) = int_(-infty)^(+infty) f(t)*e^(iwt)dt$
valida se l'integrale ha senso.
Come definizione mi pare chiara. Al che mi son messo a vedere gli esercizi del mio prof. sul calcolo delle trasformate, preparandomi a fare un po' di integrali. Però già il primo esercizio che ho visto mi ha fatto cambiare idea, infatti il testo è:
Si consideri l'equazione per $u=u(x,t), x in RR, t>=0$
$u_t = u_(xx) - u_x$, con la condizione iniziale $u(x,0)=f(x)$
Introdurre la trasformata di Fourier $\hat u(k,t) = F(u(x,t))$.
Mi sono chiesto come fare, devo prima risolvere l'equazione differenziale alle derivate parziali? non credo perché nel punto successivo chiede di dimostrare che la soluzione si può scrivere nella forma $u(x,t)=G(x,t)*f(x)$
Ma anche se avessi una funzione $u(x,t)$ assegnata, quando mi chiede di trasformare in Fourier, devo fare :
$g(w) = int_(-infty)^(+infty) f(x,t)*e^(iwt)dt$ o
$g(w) = int_(-infty)^(+infty) f(t)*e^(iwt)dx$?
$g(w) = int_(-infty)^(+infty) f(t)*e^(iwt)dt$
valida se l'integrale ha senso.
Come definizione mi pare chiara. Al che mi son messo a vedere gli esercizi del mio prof. sul calcolo delle trasformate, preparandomi a fare un po' di integrali. Però già il primo esercizio che ho visto mi ha fatto cambiare idea, infatti il testo è:
Si consideri l'equazione per $u=u(x,t), x in RR, t>=0$
$u_t = u_(xx) - u_x$, con la condizione iniziale $u(x,0)=f(x)$
Introdurre la trasformata di Fourier $\hat u(k,t) = F(u(x,t))$.
Mi sono chiesto come fare, devo prima risolvere l'equazione differenziale alle derivate parziali? non credo perché nel punto successivo chiede di dimostrare che la soluzione si può scrivere nella forma $u(x,t)=G(x,t)*f(x)$
Ma anche se avessi una funzione $u(x,t)$ assegnata, quando mi chiede di trasformare in Fourier, devo fare :
$g(w) = int_(-infty)^(+infty) f(x,t)*e^(iwt)dt$ o
$g(w) = int_(-infty)^(+infty) f(t)*e^(iwt)dx$?
Risposte
"Zkeggia":
Mi sono chiesto come fare, devo prima risolvere l'equazione differenziale alle derivate parziali? non credo perché nel punto successivo chiede di dimostrare che la soluzione si può scrivere nella forma $u(x,t)=G(x,t)*f(x)$
Ovviamente no... Applica la trasformata, risolvi l'equazione algebrica che ne consegue e fai le tue considerazioni.
"Zkeggia":
Ma anche se avessi una funzione $u(x,t)$ assegnata, quando mi chiede di trasformare in Fourier, devo fare :
$g(w) = int_(-infty)^(+infty) f(x,t)*e^(iwt)dt$ o
$g(w) = int_(-infty)^(+infty) f(t)*e^(iwt)dx$?
Devi trattare la variabile secondo cui non trasformi come fosse una costante, un pò come per le derivate parziali.
Nel tuo caso, il libro ti chiede di trasformare rispetto alla variabile [tex]x[/tex], quindi
[tex]\displaystyle\hat u(k,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}u(x,t)e^{ikx}dx[/tex]
Se integri rispetto ad una variabile, la funzione che viene fuori non può dipendere più da quella variabile ma da quella trasformata.
[tex]\displaystyle\hat u(k,t)=\int_{-\infty}^{+\infty}u(x,t)e^{ikx}dx[/tex]
Se integri rispetto ad una variabile, la funzione che viene fuori non può dipendere più da quella variabile ma da quella trasformata.
ok grazie per le risposte, suppongo che per risolvere dovrò integrare per parti e usare la relazione $(delu)/(delt) =(del^2u)/(delx^2) - (delu)/(delx)$ per ricavarne qualcosa. Però integrando per parti una volta mi viene fuori una cosa del tipo:
$int_(-infty)^(+infty) u(x,t)e^(ikx)dx = e^(ikx)*(u(x,t))/(ik)|_(-infty)^(+infty) - int_(-infty)^(+infty)((del^2(u))/(dx^2)-(delu)/(delt))* e^(ikx)/(ik)dx$
però non capisco se porta a qualcosa, anche perché $e^(ikx)*(u(x,t))/(ik)|_(-infty)^(+infty)$ non so se è ben definito (t>0) e se ha senso...
$int_(-infty)^(+infty) u(x,t)e^(ikx)dx = e^(ikx)*(u(x,t))/(ik)|_(-infty)^(+infty) - int_(-infty)^(+infty)((del^2(u))/(dx^2)-(delu)/(delt))* e^(ikx)/(ik)dx$
però non capisco se porta a qualcosa, anche perché $e^(ikx)*(u(x,t))/(ik)|_(-infty)^(+infty)$ non so se è ben definito (t>0) e se ha senso...
Approccio errato. Prima di affrontare questo esercizio probabilmente devi studiare meglio le proprietà della trasformata, in particolare cosa succede trasformando le derivate di una funzione.
mmh mi sa anche a me ho trovato ora sul libro le pagine che parlano delle varie proprietà quindi meglio che le studi, è difficile la vita da autodidatta!
"Zkeggia":
è difficile la vita da autodidatta!
non se studi bene la teoria prima di fare esercizi...
Ok ho studiato la derivazione riguardo le trasformate di fourier ma ancora non sono sicuro. Io so che trasformare la derivata di una funzione equivale a moltiplicare la trasformata della funzione per $-iw$. quindi sostituendo nell'espressione ottengo:
$(del)/(delt) int_(-infty)^(+infty) u(x,t)e^(iwx)dx = -w^2int_(-infty)^(+infty) u(x,t)e^(iwx)dx + iwint_(-infty)^(+infty) u(x,t)e^(iwx)dx$
A questo punto ho pensato che l'equazione è sempre vera solo se gli integrandi sono uguali, e quindi mi son ridotto a calcolare:
$(del (u))/(delt) = w (i-w) u (x,t)$
Ma non sono sicuro della frase che ho appena detto, e la risoluzione di questa equazione non la so, suppongo si faccia come nel caso a una variabile ma non so...
$(del)/(delt) int_(-infty)^(+infty) u(x,t)e^(iwx)dx = -w^2int_(-infty)^(+infty) u(x,t)e^(iwx)dx + iwint_(-infty)^(+infty) u(x,t)e^(iwx)dx$
A questo punto ho pensato che l'equazione è sempre vera solo se gli integrandi sono uguali, e quindi mi son ridotto a calcolare:
$(del (u))/(delt) = w (i-w) u (x,t)$
Ma non sono sicuro della frase che ho appena detto, e la risoluzione di questa equazione non la so, suppongo si faccia come nel caso a una variabile ma non so...
Una volta che fai la trasformata, l'equazione differenziale diventa:
[tex]\dfrac{\partial\hat u(k,t)}{\partial t}=(ik-k^2)\hat u(k,t)[/tex]
Essendo riferita alla sola [tex]t[/tex] non dovresti avere problemi.
[tex]\dfrac{\partial\hat u(k,t)}{\partial t}=(ik-k^2)\hat u(k,t)[/tex]
Essendo riferita alla sola [tex]t[/tex] non dovresti avere problemi.
si risolve come una equazione in una variabile? quindi separo le variabili? non direi visto che ad occhio, trovata una soluzione a $(\hatdelu)/(delt) = (ik-k^2)*\hatu$
che sarà della forma esponenziale, posso moltiplicare per una qualsiasi $g(k)$ arbitraria e avere comunque una soluzione, quindi direi che la soluzione generica è:
$\hatu(k,t) = e^((ik-k^2)t)*G(k)$
giusto?
che sarà della forma esponenziale, posso moltiplicare per una qualsiasi $g(k)$ arbitraria e avere comunque una soluzione, quindi direi che la soluzione generica è:
$\hatu(k,t) = e^((ik-k^2)t)*G(k)$
giusto?
Non ho mai parlato di separazione delle variabili, che è ben altra cosa. Ho detto semplicemente che l'equazione differenziale è riferita alla sola [tex]t[/tex], ovvero puoi considerare la variabile [tex]k[/tex] come una costante. Si, il risultato al quale sei giunto è corretto, ora devi proseguire utilizzando la condizione iniziale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo