Trasformata di Fourier...
Salve a tutti,
ho $F(t e^(jt) delta(t-2))$ e mi trovo $0$ perchè ho pensato che la $F(delta(t-2)) = 1$ e la derivata di una costante è nulla (dato che ho quella $t$)
non sono sicuro di questo risultato, mi potete aiutare?
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ho $F(t e^(jt) delta(t-2))$ e mi trovo $0$ perchè ho pensato che la $F(delta(t-2)) = 1$ e la derivata di una costante è nulla (dato che ho quella $t$)
non sono sicuro di questo risultato, mi potete aiutare?
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Risposte
"Tycos":
Salve a tutti,
ho pensato che la $F(delta(t-2)) = 1$
questo e' sbagliato - la trasformata di $\delta$ e' $1$, non quella di $\delta(t-2)$, che invece fa $e^{-2it}$
Moltiplicando $te^(j t)$ per $delta(t-2)$ ottieni $2e^(2j) delta (t-2)$ (proprietà campionatrice della $delta$). Unisci questa considerazione con quella di VGE e avrai la trasformata.
"Tycos":
Salve a tutti,
ho $F(t e^(jt) delta(t-2))$ e mi trovo $0$ perchè ho pensato che la $F(delta(t-2)) = 1$ e la derivata di una costante è nulla (dato che ho quella $t$)
non sono sicuro di questo risultato, mi potete aiutare?
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Secondo me il ris è:
$F(t e^(jt) delta(t-2))=2e^(i2)*e^(-i2)=2$
Mi hai bruciato sul tempo... 
Quindi $F{t*e^(jt)*delta(t-a)}=a$?
No, non credo che il risultato corretto sia quello, anche perchè antitrasformando non riottengo nemmeno la delta centrata in 2.
Se volessimo essere formali, allora dovremmo utilizzare la definizione di trasformata di Fourier per le distribuzioni temperate, dato che ciò di cui si chiede la trasformata è una distribuzione temperata, quindi $\forall v \in S(\mathbb{R})$
$ = = <\delta(t-2), t e^{it} F[v](t)> = 2e^{i2}F[v](2) = 2e^{i2}\int_{\mathbb{R}} v(\xi) e^{-i2\xi}d\xi = <2e^{i2}e^{-i2\xi}, v>$
Da cui si desume che $F[t e^{it} \delta(t-2)](\xi) = 2e^{i2}e^{-i2\xi}$.
Volendo essere meno formale, applichiamo la proprietà della delta, la quale campiona funzioni che la moltiplicano nel punto di traslazione, quindi $t e^{it}\delta(t-2) = 2e^{i2}\delta(t-2)$. Ora la trasformata di $\delta(t)$ è pari a $1$, applicando le proprietà della trasformata relative alla traslazione nei tempi, risulta
$F[2e^{i2}\delta(t-2)](\xi) = 2e^{i2}F[\delta(t-2)](\xi) = 2e^{i2}e^{-i\xi 2}F[\delta(t)](\xi) = 2e^{i2}e^{-i2\xi}$.
Oppure anche applicando nel modo corretto le varie proprietà della trasformata di Fourier, senza conoscere nulla della delta (anche se i passaggi sono più lunghi), comunque sia il risultato è sempre quello.
Se volessimo essere formali, allora dovremmo utilizzare la definizione di trasformata di Fourier per le distribuzioni temperate, dato che ciò di cui si chiede la trasformata è una distribuzione temperata, quindi $\forall v \in S(\mathbb{R})$
$
Da cui si desume che $F[t e^{it} \delta(t-2)](\xi) = 2e^{i2}e^{-i2\xi}$.
Volendo essere meno formale, applichiamo la proprietà della delta, la quale campiona funzioni che la moltiplicano nel punto di traslazione, quindi $t e^{it}\delta(t-2) = 2e^{i2}\delta(t-2)$. Ora la trasformata di $\delta(t)$ è pari a $1$, applicando le proprietà della trasformata relative alla traslazione nei tempi, risulta
$F[2e^{i2}\delta(t-2)](\xi) = 2e^{i2}F[\delta(t-2)](\xi) = 2e^{i2}e^{-i\xi 2}F[\delta(t)](\xi) = 2e^{i2}e^{-i2\xi}$.
Oppure anche applicando nel modo corretto le varie proprietà della trasformata di Fourier, senza conoscere nulla della delta (anche se i passaggi sono più lunghi), comunque sia il risultato è sempre quello.
Si concordo con Ska: la trasformata è $2e^(2j) ccF[delta(t-2)]=2e^(2j)e^(-2j omega)=2e^(2j-2j omega)$.
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