Trasformata di Fourier
Salve Forum,
Fra poco ho l'esame di matematica III e volevo chiedervi se qualcuno poteva darmi una mano nel seguente esercizio, che proprio non vuole uscire...
Determinare la trasformata di Fourier della funzione :
$f(x) = { (1-x^2 if 1/2
Dunque la trasformata mi viene :$ i/(2\omega)e^(-i\omega/2) + 1/(\omega^2)e^(-i\omega/2) -1/(\omega^2)e^(-i\omega) - i/(\omega)e^(-i\omega/2) $.
Poi, antitrasformando, dovrebbe venirmi un espressione simile all'integrale da determinare e da li dovrei riuscire a determinarlo.
L'unica cosa è che la mia trasformata proprio non ci assomiglia alla funzione integranda, perchè non riesco a portare in seni e coseni...
Ringrazio dal principio,
Francesco.
Fra poco ho l'esame di matematica III e volevo chiedervi se qualcuno poteva darmi una mano nel seguente esercizio, che proprio non vuole uscire...
Determinare la trasformata di Fourier della funzione :
$f(x) = { (1-x^2 if 1/2
Dunque la trasformata mi viene :$ i/(2\omega)e^(-i\omega/2) + 1/(\omega^2)e^(-i\omega/2) -1/(\omega^2)e^(-i\omega) - i/(\omega)e^(-i\omega/2) $.
Poi, antitrasformando, dovrebbe venirmi un espressione simile all'integrale da determinare e da li dovrei riuscire a determinarlo.
L'unica cosa è che la mia trasformata proprio non ci assomiglia alla funzione integranda, perchè non riesco a portare in seni e coseni...
Ringrazio dal principio,
Francesco.
Risposte
La trasformata però è
$F(omega)=-\frac{2 i e^{-\frac{i \omega }{2}}}{\omega ^3}+\frac{2 i e^{-i \omega }}{\omega ^3}+\frac{e^{-\frac{i \omega }{2}}}{\omega ^2}-\frac{2 e^{-i \omega }}{\omega ^2}-\frac{3 i e^{-\frac{i \omega }{2}}}{4 \omega }$,
ne sono sicuro perchè l'ho fatta fare a Mathematica.
$F(omega)=-\frac{2 i e^{-\frac{i \omega }{2}}}{\omega ^3}+\frac{2 i e^{-i \omega }}{\omega ^3}+\frac{e^{-\frac{i \omega }{2}}}{\omega ^2}-\frac{2 e^{-i \omega }}{\omega ^2}-\frac{3 i e^{-\frac{i \omega }{2}}}{4 \omega }$,
ne sono sicuro perchè l'ho fatta fare a Mathematica.
Mi sembra strano(l'ho fatta più volte e mi trovo sempre lo stesso(forse devo imparare di nuovo come si fanno gli integrali 
))
E in ogni caso...la trasformata che hai scritto tu come si porterebbe in seni e coseni ? Grazie
Ciao!
))E in ogni caso...la trasformata che hai scritto tu come si porterebbe in seni e coseni ? Grazie
Ciao!
Ho fatto l'antitrasformata della tua trasformata ma non torna la funzione originale. Sempre con Mathematica, con il comando ExpToTrig[.], ottengo
$F(omega)=-\frac{2 i \text{Cos}[\frac{\omega }{2}]}{\omega ^3}+\frac{\text{Cos}[\frac{\omega }{2}]}{\omega ^2}-\frac{3 i \text{Cos}[\frac{\omega }{2}]}{4 \omega }+\frac{2 i \text{Cos}[\omega ]}{\omega ^3}-\frac{2 \text{Cos}[\omega ]}{\omega ^2}-\frac{2 \text{Sin}[\frac{\omega }{2}]}{\omega ^3}-\frac{i \text{Sin}[\frac{\omega }{2}]}{\omega ^2}-\frac{3 \text{Sin}[\frac{\omega }{2}]}{4 \omega }+\frac{2 \text{Sin}[\omega ]}{\omega ^3}+\frac{2 i \text{Sin}[\omega ]}{\omega ^2}$.
Il tutto va poi a moltiplicare ovviamente $e^(i omega x)= cos[omega x] + i sin[omega x]$. L'ho fatto al computer ma è facile ottenerlo a mano (se proprio devi): infatti basta usare le relazioni di Eulero:
$sin[omega]=(e^(i omega)-e^(- i omega))/(2i)$,
$cos[omega]=(e^(i omega)+e^(-i omega))/(2)$.
Ora mi pare più vicino all'integrale che devi calcolare: lavoraci un pò su.
$F(omega)=-\frac{2 i \text{Cos}[\frac{\omega }{2}]}{\omega ^3}+\frac{\text{Cos}[\frac{\omega }{2}]}{\omega ^2}-\frac{3 i \text{Cos}[\frac{\omega }{2}]}{4 \omega }+\frac{2 i \text{Cos}[\omega ]}{\omega ^3}-\frac{2 \text{Cos}[\omega ]}{\omega ^2}-\frac{2 \text{Sin}[\frac{\omega }{2}]}{\omega ^3}-\frac{i \text{Sin}[\frac{\omega }{2}]}{\omega ^2}-\frac{3 \text{Sin}[\frac{\omega }{2}]}{4 \omega }+\frac{2 \text{Sin}[\omega ]}{\omega ^3}+\frac{2 i \text{Sin}[\omega ]}{\omega ^2}$.
Il tutto va poi a moltiplicare ovviamente $e^(i omega x)= cos[omega x] + i sin[omega x]$. L'ho fatto al computer ma è facile ottenerlo a mano (se proprio devi): infatti basta usare le relazioni di Eulero:
$sin[omega]=(e^(i omega)-e^(- i omega))/(2i)$,
$cos[omega]=(e^(i omega)+e^(-i omega))/(2)$.
Ora mi pare più vicino all'integrale che devi calcolare: lavoraci un pò su.
Ti ringrazio, Elgiovo
Ciao!
Ciao!
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