Trasformata di Fourier
trovo difficoltà a determinare la trasformata di
$x(t)=1/(sqrt(2pi))e^((-t^2)/2)$
il testo suggerisce di usare la proprietà di derivazione nel dominio del tempo e della frequenza...come faccio?
$x(t)=1/(sqrt(2pi))e^((-t^2)/2)$
il testo suggerisce di usare la proprietà di derivazione nel dominio del tempo e della frequenza...come faccio?
Risposte
La funzione $x(t) = C*e^(-t^2/2)$ è un autofunzione della trasformata di Fourier. Il che significa che rimane invariata rispetto alla trasformazione.
Per dimostrare che effettivamente è così, servono un paio di trucchetti:
1) Completa il quadrato all'esponente:
$e^(-t^2/2)e^(-ikt) = e^(-1/2(t^2+2ikt -k^2)) e^(-1/2k^2)= e^(-1/2(t+ik)^2) e^(-1/2k^2)$
2) Ora puoi notare che l'integrale
$\int_{-\infty}^{\infty} e^(-1/2(t-ik)^2) dt$
è uguale all'integrale di linea complesso
$lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R} e^(-1/2z^2) dz $
dove $\Gamma_R: t \mapsto t + ik, t \in [-R,R]$
3) Per il teorema di Cauchy hai che il cammino è indipendente dal percorso scelto, visto che la funzione è analitica su tutto $CC$. Quindi l'integrale è uguale a:
$lim_{R \to \infty} ( \int_{-R}^{R} e^(-1/2t^2) dt + \int_{R}^{R+ik} e^(-1/2z^2) dz - \int_{-R}^{-R+ik} e^(-1/2z^2) dz)$
4) Ora noterai che se $z = R+ix$, $0 \le x \le k$:
$|e^(-z^2)| = |e^(-R^2+x^2)e^(2iRx)| \le e^(k^2) e^(-R^2)$
5) Gli ultimi due integrali tendono dunque a zero, e quindi l'unica funzione da calcolare è:
$\int_{-\infty}^{\infty} e^(-1/2t^2) dt $
che sai che è uguale a $sqrt(2pi)$.
La trasformata è dunque: $C*e^(-1/2k^2)$
Per dimostrare che effettivamente è così, servono un paio di trucchetti:
1) Completa il quadrato all'esponente:
$e^(-t^2/2)e^(-ikt) = e^(-1/2(t^2+2ikt -k^2)) e^(-1/2k^2)= e^(-1/2(t+ik)^2) e^(-1/2k^2)$
2) Ora puoi notare che l'integrale
$\int_{-\infty}^{\infty} e^(-1/2(t-ik)^2) dt$
è uguale all'integrale di linea complesso
$lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R} e^(-1/2z^2) dz $
dove $\Gamma_R: t \mapsto t + ik, t \in [-R,R]$
3) Per il teorema di Cauchy hai che il cammino è indipendente dal percorso scelto, visto che la funzione è analitica su tutto $CC$. Quindi l'integrale è uguale a:
$lim_{R \to \infty} ( \int_{-R}^{R} e^(-1/2t^2) dt + \int_{R}^{R+ik} e^(-1/2z^2) dz - \int_{-R}^{-R+ik} e^(-1/2z^2) dz)$
4) Ora noterai che se $z = R+ix$, $0 \le x \le k$:
$|e^(-z^2)| = |e^(-R^2+x^2)e^(2iRx)| \le e^(k^2) e^(-R^2)$
5) Gli ultimi due integrali tendono dunque a zero, e quindi l'unica funzione da calcolare è:
$\int_{-\infty}^{\infty} e^(-1/2t^2) dt $
che sai che è uguale a $sqrt(2pi)$.
La trasformata è dunque: $C*e^(-1/2k^2)$
il risultato è $e^(-2pi^2f^2)$......poi seppur chiarissima la tua spiegazione,mi servirebbe un approccio più pratico,non matematico...potresti aiutarmi anche in tal senso?
"elgiovo":
Qui ho postato una dimostrazione che fa uso dei momenti di una gaussiana.
Ehm, forse un po' troppo difficile?
p4ngm4n:
quale costante metti davanti alla trasformata?
Io l'ho intesa così:
$\bar f(t) [k] = 1/(sqrt(2\pi)) \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^(-ikt) dt$
E sono sicuro che la trasformata in questa forma per $f(t) = e^(-1/2t^2)$ è $f(k) = e^(-1/2k^2)$, cioè rimane invariata. Quel $2 \pi^2$ non mi piace...
Un approccio più fisico intendi? Mi dispiace, hai a che fare con la persona sbagliata
Il metodo più semplice per risolvere questo integrale è per mezzo dell'analisi complessa...
Si potrebbe dimostrare anche con il teorema del limite centrale, ma non credo che possa aiutare...
no intendo un approccio sfruttando le proprietà della trasformata...è possibile arrivare al risultato cn qualche trucchetto senza usare l'analisi complessa?
forse non mi sono spiegato bene...intendo determinare la trasformata senza usare la formula,quindi senza far intervenire l'analisi complessa,ma soltanto sfruttando trasformate notevoli e proprietà di derivzione.
Sai che $ccF{d/(dt)x(t)}(omega)=jomegaccF{x(t)}$, quindi calcoli $x'(t)$ e ne fai la trasformata (completi il quadrato all'esponente e poi integri per parti).
"pat87":
[quote="elgiovo"]Qui ho postato una dimostrazione che fa uso dei momenti di una gaussiana.
Ehm, forse un po' troppo difficile?
[/quote]
Personalmente la trovo abbastanza semplice.
"luca.barletta":
Sai che $ccF{d/(dt)x(t)}(omega)=jomegaccF{x(t)}$, quindi calcoli $x'(t)$ e ne fai la trasformata (completi il quadrato all'esponente e poi integri per parti).
non ho capito bene...potresti solo impostarmi l'integrale poi me lo calcolo io?
$x'(t)=-t/sqrt(2pi)e^(-t^2/2)$
$ccF{x'(t)}(omega)=jomegaccF{x(t)}(omega) rarr ccF{x(t)}(omega)=1/(jomega)ccF{x'(t)}(omega)=1/(jomega)int_(RR) x'(t)e^(-jomegat)dt=1/(jomega)int_(RR) -t/sqrt(2pi)e^(-t^2/2)e^(-jomegat)dt=...$
$ccF{x'(t)}(omega)=jomegaccF{x(t)}(omega) rarr ccF{x(t)}(omega)=1/(jomega)ccF{x'(t)}(omega)=1/(jomega)int_(RR) x'(t)e^(-jomegat)dt=1/(jomega)int_(RR) -t/sqrt(2pi)e^(-t^2/2)e^(-jomegat)dt=...$
caspita...nn me lo risolve neanche il derive!!!come devo fare?
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