Trasformata di Fourier
Ciao, volevo chiedere chiarimenti su questo es.
Voglio calcolare la convoluzione $s(t)=x*y(t)$ (con $*$ che indica in questo caso l'operatore di convoluzione) di
$x(t)=sinc(F_1t)$ e $y(t)=sinc[F_2(t-t_0)]$ (supponiamo $F_1, F_2 in RR, >0$)
vista come moltiplicazione delle trasformate. Ora, ricordando che la trasformata del $sinc$ è il $rect$(considerando naturalmente le amplificazioni e la traslazione di $y(t)$) dovrebbe risultare
$XX(t)=1/F_1rect(f/F_1)$ e $YY(t)=1/F_2rect(f/F_2)e^(-i2pift_0)$
Ciò che volevo chiarire ora è questo. L'esponenziale presente nella trasformata di $y$ è da vedere solo come una costante moltiplicativa dell'ampiezza del $rect$, vero?
Per cui moltiplicare le 2 trasformate equivale ad individuare un rect del tipo
$SS(f)=1/(F_1F_2)rect(f/F_2)e^(-i2pift_0)$ Se $F_2
Voglio calcolare la convoluzione $s(t)=x*y(t)$ (con $*$ che indica in questo caso l'operatore di convoluzione) di
$x(t)=sinc(F_1t)$ e $y(t)=sinc[F_2(t-t_0)]$ (supponiamo $F_1, F_2 in RR, >0$)
vista come moltiplicazione delle trasformate. Ora, ricordando che la trasformata del $sinc$ è il $rect$(considerando naturalmente le amplificazioni e la traslazione di $y(t)$) dovrebbe risultare
$XX(t)=1/F_1rect(f/F_1)$ e $YY(t)=1/F_2rect(f/F_2)e^(-i2pift_0)$
Ciò che volevo chiarire ora è questo. L'esponenziale presente nella trasformata di $y$ è da vedere solo come una costante moltiplicativa dell'ampiezza del $rect$, vero?
Per cui moltiplicare le 2 trasformate equivale ad individuare un rect del tipo
$SS(f)=1/(F_1F_2)rect(f/F_2)e^(-i2pift_0)$ Se $F_2
Risposte
Mi sembra tutto ok.
Ti ringrazio. Ora ho un altro questito.
Ho la trasformata
$S(f)=(2ie^(i2pifT))/(2+e^(i2pift))$ e ne devo calcolare l'antitrasformata. E' scritto di non farlo con la definizione, per cui ho pensato di sfruttare una trasformata che abbiamo ricavato a lezione con la quale mi posso ricondurre a questa.
Utilizzo quindi il fatto che dato $x(nT)=a^(n)*1_0(nT)$ con $|a|<1 in RR$ (con $1_0(nT)$ il gradino unitario discreto che vale $1$ in $0$), questo ha trasformata $X(f)=T/(1-ae^(-i2pifT))$.
Con questo ho trovato
$s(nT)=-i/T*(-1/2)^-(n+1)*1_0(-(nT+T))$.
Spero di avere conferma positiva anche in questo caso. Grazie
Ho la trasformata
$S(f)=(2ie^(i2pifT))/(2+e^(i2pift))$ e ne devo calcolare l'antitrasformata. E' scritto di non farlo con la definizione, per cui ho pensato di sfruttare una trasformata che abbiamo ricavato a lezione con la quale mi posso ricondurre a questa.
Utilizzo quindi il fatto che dato $x(nT)=a^(n)*1_0(nT)$ con $|a|<1 in RR$ (con $1_0(nT)$ il gradino unitario discreto che vale $1$ in $0$), questo ha trasformata $X(f)=T/(1-ae^(-i2pifT))$.
Con questo ho trovato
$s(nT)=-i/T*(-1/2)^-(n+1)*1_0(-(nT+T))$.
Spero di avere conferma positiva anche in questo caso. Grazie
mmh, per essere sicuro ti conviene verificare anche con la definizione... male non fa
Mi ero scordato di postare poi.. Ho provato a calcolare la trasformata di $s(nT)=-i/T*(-1/2)^-(n+1)*1_0(-(nT+T))$ e viene sbagliato un segno. Non so se sia un passaggio che ho sbagliato nello svolgere il calcolo o un errore nel determinare il segnale. Comunque posto i passaggi per vedere se lo sbaglio è su questi
$S(f)=sum_(n=-oo)^(+oo)Ts(nT)*e^(-i2pifnT)=sum_(n=-oo)^(+oo)T*-i/T*(-1/2)^-(n+1)*1_0(-(nT+T))*e^(-i2pifnT)=$
$=-i*sum_(n=-oo)^(-1)(-1/2)^-(n+1)*e^(-i2pifnT)=2i*sum_(n=-oo)^(-1)(-1/2e^(i2pifT))^(-n)=2i*sum_(n=1)^(+oo)(-1/2e^(i2pifT))^(n)=$
$=2i(-1/2e^(i2pifT))*1/(1+1/2e^(i2pifT))=-(2ie^(i2pifT))/(2+e^(i2pifT))$
Spero mi aiutiate a trovare l'errore. Grazie
$S(f)=sum_(n=-oo)^(+oo)Ts(nT)*e^(-i2pifnT)=sum_(n=-oo)^(+oo)T*-i/T*(-1/2)^-(n+1)*1_0(-(nT+T))*e^(-i2pifnT)=$
$=-i*sum_(n=-oo)^(-1)(-1/2)^-(n+1)*e^(-i2pifnT)=2i*sum_(n=-oo)^(-1)(-1/2e^(i2pifT))^(-n)=2i*sum_(n=1)^(+oo)(-1/2e^(i2pifT))^(n)=$
$=2i(-1/2e^(i2pifT))*1/(1+1/2e^(i2pifT))=-(2ie^(i2pifT))/(2+e^(i2pifT))$
Spero mi aiutiate a trovare l'errore. Grazie
sì, c'era quel segno che non tornava
"luca.barletta":
sì, c'era quel segno che non tornava
Quindi l'errore è stato fatto nell'individuare il segnale(l'antitrasformata di $S(f)$), vero? E per cui i passaggi che ho postato nel messaggio precedente sono corretti.. Almeno quelli..
ecco, andando a memoria (perché ormai i conti li ho buttati), non mi tornava giusto il segno, per il resto era ok
L'ho riguardato 1000 volte ma non riesco a capire dove sia l'errore...
Solo a titolo informativo volevo chiedere se è giusto scrivere il segnale $s(nT)=i/(-T)(-1/2)^-(n+1)1_0[-(nT+T)]$ come antitrasformata di $S(f)=(2ie^(i2pifT))/(2+e^(i2pifT))$ sapendo che dato $x(nT)=a^(n)*1_0(nT)$ con $|a|<1 in RR$ (con $1_0(nT)$ il gradino unitario discreto che vale $1$ in $0$), questo ha trasformata $X(f)=T/(1-ae^(-i2pifT))$.
Grazie
Solo a titolo informativo volevo chiedere se è giusto scrivere il segnale $s(nT)=i/(-T)(-1/2)^-(n+1)1_0[-(nT+T)]$ come antitrasformata di $S(f)=(2ie^(i2pifT))/(2+e^(i2pifT))$ sapendo che dato $x(nT)=a^(n)*1_0(nT)$ con $|a|<1 in RR$ (con $1_0(nT)$ il gradino unitario discreto che vale $1$ in $0$), questo ha trasformata $X(f)=T/(1-ae^(-i2pifT))$.
Grazie
Non avevo più postato cmq, se qualcuno si fosse interessato all'es(:D) l'errore stava nel fatto che $s(nT)=i/T(-1/2)^-(n+1)1_0[-(nT+T)]$ poichè
$S(f)$ può essere visto come $X(-f)i/T*e^(ipifT)$
Ciao
$S(f)$ può essere visto come $X(-f)i/T*e^(ipifT)$
Ciao
"Dust":
Non avevo più postato cmq, se qualcuno si fosse interessato all'es(:D) l'errore stava nel fatto che $s(nT)=i/T(-1/2)^-(n+1)1_0[-(nT+T)]$ poichè
$S(f)$ può essere visto come $X(-f)i/T*e^(ipifT)$
Ciao
ehm... ma non l'avevo gia detto?
"luca.barletta":
[quote="Dust"]Non avevo più postato cmq, se qualcuno si fosse interessato all'es(:D) l'errore stava nel fatto che $s(nT)=i/T(-1/2)^-(n+1)1_0[-(nT+T)]$ poichè
$S(f)$ può essere visto come $X(-f)i/T*e^(ipifT)$
Ciao
ehm... ma non l'avevo gia detto?
[/quote]Allora ero io che non avevo interpretato correttamente il tuo post. Avevo capito che l'errore stava nel segno ma non avevo capito dove, nella scrittura dell'antitrasformata avevo sbagliato..
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