Trasformata di Fourier
Buon ferragosto,
in un problema di meccanica delle vibrazioni mi si chiede l'ampiezza della risposta residua di un sistema massa-molla ad una forza (impulsiva) costante $f$ agente per un piccolo tempo $T$.
$A_R=omega_n/k|F(omega_n)|$, dove $F(omega_n)$ è la trasformata di Fourier di $f$ calcolata in $omega_n$.
Qui $F=fint_(-infty)^(infty)e^(-jomegat)dt=fint_?^?(cos(omegat)-jsin(omegat))dt$, dove $j$ è l'unità immaginaria.
Sono indeciso se porre come estremi d'integrazione $0,T$ o $-T/2,T/2$: tendenzialmente opterei per i primi, ma con i secondi potrei sopprimere il seno all'interno dell'integrale essendo una funzione dispari così da velocizzare lo svolgimento. Ma le soluzioni sarebbero diverse e non capisco perché.
Grazie.
in un problema di meccanica delle vibrazioni mi si chiede l'ampiezza della risposta residua di un sistema massa-molla ad una forza (impulsiva) costante $f$ agente per un piccolo tempo $T$.
$A_R=omega_n/k|F(omega_n)|$, dove $F(omega_n)$ è la trasformata di Fourier di $f$ calcolata in $omega_n$.
Qui $F=fint_(-infty)^(infty)e^(-jomegat)dt=fint_?^?(cos(omegat)-jsin(omegat))dt$, dove $j$ è l'unità immaginaria.
Sono indeciso se porre come estremi d'integrazione $0,T$ o $-T/2,T/2$: tendenzialmente opterei per i primi, ma con i secondi potrei sopprimere il seno all'interno dell'integrale essendo una funzione dispari così da velocizzare lo svolgimento. Ma le soluzioni sarebbero diverse e non capisco perché.
Grazie.
Risposte
Traslare nel tempo equivale a un fattore di fase in frequenza, il modulo non viene intaccato.
Grazie per la risposta.
Dunque, dovendo determinare la trasformata di Fourier della forza costante $f$, ho scritto $F=fint_(-infty)^(infty)e^(-jomegat)dt=fint_(-infty)^infty(cos(omegat)-jsin(omegat))dt$. Agendo $f$ solo per il tempo $T$, stavo ragionando su che estremi d'integrazione potessi sostituire a $-infty,infty$. Prima ho pensato: be', con $0,T$ vado sul sicuro. Performando l'integrale, ho ottenuto $F=f/omega(sin(omegaT)+j(cos(omegaT)-1))$. Trattasi di un numero complesso con modulo $|F|=f/omegasqrt(2(1+cos(omegaT)))$. Poi ho pensato: e se usassi $-T/2,T/2$ cosicché, essendo il coseno una funzione pari ed il seno una dispari, l'integrale si semplificasse in $F=2fint_(-T/2)^(T/2)cos(omegat)dt$? Tuttavia, performando l'integrale, ho ottenuto $F=(2f)/omega sin(omega/2 T)$. Trattasi di un numero reale. Insomma, le soluzioni sono diverse.
Grazie.
Dunque, dovendo determinare la trasformata di Fourier della forza costante $f$, ho scritto $F=fint_(-infty)^(infty)e^(-jomegat)dt=fint_(-infty)^infty(cos(omegat)-jsin(omegat))dt$. Agendo $f$ solo per il tempo $T$, stavo ragionando su che estremi d'integrazione potessi sostituire a $-infty,infty$. Prima ho pensato: be', con $0,T$ vado sul sicuro. Performando l'integrale, ho ottenuto $F=f/omega(sin(omegaT)+j(cos(omegaT)-1))$. Trattasi di un numero complesso con modulo $|F|=f/omegasqrt(2(1+cos(omegaT)))$. Poi ho pensato: e se usassi $-T/2,T/2$ cosicché, essendo il coseno una funzione pari ed il seno una dispari, l'integrale si semplificasse in $F=2fint_(-T/2)^(T/2)cos(omegat)dt$? Tuttavia, performando l'integrale, ho ottenuto $F=(2f)/omega sin(omega/2 T)$. Trattasi di un numero reale. Insomma, le soluzioni sono diverse.
Grazie.
"Bubbino1993":
Trattasi di un numero complesso con modulo $|F|=f/omegasqrt(2(1+cos(omegaT)))$
C'è il segno meno al coseno.
Inoltre:
\(\displaystyle 1-\cos ( x )= 2 \sin ^2 (\frac{x}{2}) \)
da cui...
E' vero, grazie.
Dunque, il dubbio di analisi è ormai sciolto. Frattanto me n'è venuto un altro, sempre relativo a questo problema, ma forse più di fisica. Se ti viene in mente qualcosa, ti ringrazio. Altrimenti apro un altro thread nella sezione di fisica. Il fatto è che il testo non diceva esattamente, come ho scritto io, "forza (impulsiva) costante $f$ agente per un piccolo tempo $T$", bensì "forza (impulsiva) costante $f$ agente per un piccolo spostamento $x in [-l/2,l/2]$". Il concetto è uguale, ho solo semplificato le cose per isolare il dubbio di analisi. Tuttavia ora dovrei trasformare $f(x)$ in $f(t)$. Nessun problema: il sistema viaggia a velocità costante $v$, per cui $x in [-l/2,l/2] rarr vt in [-l/2,l/2] rarr t in [-l/(2v),l/(2v)]$. In definitiva gli estremi d'integrazione sono $-l/(2v),l/(2v)$. Fin qui tutt'OK. Il dubbio di fisica nasce ora, perché il testo dice: e se il sistema viaggiasse a velocità $v=v_0+at$? Se usassi lo stesso metodo, otterrei:
$x in [-l/2,l/2] rarr v_0t+1/2at^2 in [-l/2,l/2]$
Da cui otterrei 2 equazioni di 2° grado: $1/2at^2+v_0t+l/2=0$ per il 1° estremo d'integrazione e $1/2at^2+v_0t-l/2=0$ per il 2°. Il fatto è che così otterrei 4 valori di $t$. In base a cosa scelgo i 2 che servono a me?
Grazie comunque.
Dunque, il dubbio di analisi è ormai sciolto. Frattanto me n'è venuto un altro, sempre relativo a questo problema, ma forse più di fisica. Se ti viene in mente qualcosa, ti ringrazio. Altrimenti apro un altro thread nella sezione di fisica. Il fatto è che il testo non diceva esattamente, come ho scritto io, "forza (impulsiva) costante $f$ agente per un piccolo tempo $T$", bensì "forza (impulsiva) costante $f$ agente per un piccolo spostamento $x in [-l/2,l/2]$". Il concetto è uguale, ho solo semplificato le cose per isolare il dubbio di analisi. Tuttavia ora dovrei trasformare $f(x)$ in $f(t)$. Nessun problema: il sistema viaggia a velocità costante $v$, per cui $x in [-l/2,l/2] rarr vt in [-l/2,l/2] rarr t in [-l/(2v),l/(2v)]$. In definitiva gli estremi d'integrazione sono $-l/(2v),l/(2v)$. Fin qui tutt'OK. Il dubbio di fisica nasce ora, perché il testo dice: e se il sistema viaggiasse a velocità $v=v_0+at$? Se usassi lo stesso metodo, otterrei:
$x in [-l/2,l/2] rarr v_0t+1/2at^2 in [-l/2,l/2]$
Da cui otterrei 2 equazioni di 2° grado: $1/2at^2+v_0t+l/2=0$ per il 1° estremo d'integrazione e $1/2at^2+v_0t-l/2=0$ per il 2°. Il fatto è che così otterrei 4 valori di $t$. In base a cosa scelgo i 2 che servono a me?
Grazie comunque.
Dal tuo asse tempi di riferimento.
L'accelerazione è positiva immagino, per cui imponi che al tempo 0 sei a -l/2, quindi in +l/2 ci arriverai ad un t sicuramente non negativo.
L'accelerazione è positiva immagino, per cui imponi che al tempo 0 sei a -l/2, quindi in +l/2 ci arriverai ad un t sicuramente non negativo.
Perfetto, grazie ancora.
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