Trasformata di Fourier
Ciao a tutti, mi servirebbe una mano a risolvere la TdF della funzione $f(x) = 1/((x^2+1)^2(x^2+2))$.
Innanzitutto vedo che $f(x)$ è F-trasformabile, reale e pari, quindi la TdF è continua, reale e pari.
Considero innanzitutto $\omega > 0$ e calcolo l'integrale $\int_{-\infty}^{\infty} e^(-i \omega x) f(x) dx$ utilizzando il teorema dei residui. Trovo due poli doppi in $z = +-i$ e due poli semplici in $z = +- sqrt(2) i$.
Considero solo i poli di segno negativo, perché considero il circuito nel semipiano inferiore.
A questo punto il risultato dovrebbe essere $-2 pi i (Res(e^(-i \omega x) f(x), -i) + Res(e^(-i \omega x) f(x), - sqrt(2) i))$, poi dato che la trasformata è reale e pari sostituisco $\omega$ con $|\omega|$ e dovrei aver finito.
Il problema è che potrei aver sbagliato, perché secondo WolframAlpha esce un risultato diverso dal mio.
Qualcuno sarebbe così gentile da fornirmi uno svolgimento dettagliato? Grazie mille!
Innanzitutto vedo che $f(x)$ è F-trasformabile, reale e pari, quindi la TdF è continua, reale e pari.
Considero innanzitutto $\omega > 0$ e calcolo l'integrale $\int_{-\infty}^{\infty} e^(-i \omega x) f(x) dx$ utilizzando il teorema dei residui. Trovo due poli doppi in $z = +-i$ e due poli semplici in $z = +- sqrt(2) i$.
Considero solo i poli di segno negativo, perché considero il circuito nel semipiano inferiore.
A questo punto il risultato dovrebbe essere $-2 pi i (Res(e^(-i \omega x) f(x), -i) + Res(e^(-i \omega x) f(x), - sqrt(2) i))$, poi dato che la trasformata è reale e pari sostituisco $\omega$ con $|\omega|$ e dovrei aver finito.
Il problema è che potrei aver sbagliato, perché secondo WolframAlpha esce un risultato diverso dal mio.
Qualcuno sarebbe così gentile da fornirmi uno svolgimento dettagliato? Grazie mille!
Risposte
Solo a livello indicativo ci sono diversi modi di definire la trasformata di Fourier (col segno $+-1$ o $-2pi $ all'esponente). Magari Wolfram ne usa uno diverso dal tuo?
Comunque l'integrale con la tua notazione per $ omega>0 $ viene salvo errori $pi/2[e^-omega(omega-1)-sqrt(2)e^(-sqrt(2)omega)] $
Comunque l'integrale con la tua notazione per $ omega>0 $ viene salvo errori $pi/2[e^-omega(omega-1)-sqrt(2)e^(-sqrt(2)omega)] $
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