Trasformata di Fourier
Ciao ragazzi! Allora, io ho questo problema... Ho dei vecchi compiti di esame di analisi 2 dove mi viene chiesto di calcolare la trasformata di Fourier di determinate funzioni... Premettendo che ho studiato dalle dispense del mio professore (che fanno abbastanza schifo) dove non c'è uno straccio di esempio, e non avendo trovato una buona spiegazione, c'è per caso qalcuno così gentile da spiegarmi come approcciare questo tipo di esercizi? Sia $ f(t) = 1/(t^2-t+1) $
(a) Stabilire se la funzione f appartiene a L1.
(b) Stabilire se la funzione f appartiene a L2.
(c) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f.
Sinceramente non saprei neanche da dove cominciare
Grazie in anticipo!
EDIT:
Ho messo quel testo per fare un esempio poi potete spiegarmeli come volete, ma ho pensato che magari la via più veloce è proprio con un esempio diretto...
(a) Stabilire se la funzione f appartiene a L1.
(b) Stabilire se la funzione f appartiene a L2.
(c) Calcolare la trasformata di Fourier della funzione f.
Sinceramente non saprei neanche da dove cominciare
Grazie in anticipo!
EDIT:
Ho messo quel testo per fare un esempio poi potete spiegarmeli come volete, ma ho pensato che magari la via più veloce è proprio con un esempio diretto...
Risposte
"Mandiatutti":
Sinceramente non saprei neanche da dove cominciare.
Possibile che tu non sappia rispondere alle prime due domande? Hai studiato gli integrali impropri?
Guarda se devi criticare fai a meno di rispondere. Comunque ho già combinato da solo. Grazie (non a te).
Cerco di darti una spiegazione spero corretta per quanto riguarda gli spazi $L^p$
Si dice che una funzione $f$ appartiene ad uno spazio $L^p$ (con $p in NN$) se $|f|^p $ è una funzione sommabile.
Per esempio se scrivo $L^2(RR) $ voglio intendere lo spazio vettoriale di tutte le funzione (di dominio $RR$) il cui valore assoluto, elevato al quadrato è sommabile$.
Comunque attendi gli esperti per avere informazioni migliori
Si dice che una funzione $f$ appartiene ad uno spazio $L^p$ (con $p in NN$) se $|f|^p $ è una funzione sommabile.
Per esempio se scrivo $L^2(RR) $ voglio intendere lo spazio vettoriale di tutte le funzione (di dominio $RR$) il cui valore assoluto, elevato al quadrato è sommabile$.
Comunque attendi gli esperti per avere informazioni migliori
Si infatti in questo caso, in cui la funzione data è ovunque positiva, occorre stabilire se i due integrali
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}\, dt
\]
e
\[
\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{(t-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} \right)^2 \, dt
\]
sono convergenti. E questo è un esercizio standard di integrali impropri che si risolve, per esempio, con il criterio di confronto asintotico. Dopodiché occorre calcolare la trasformata di Fourier. Questo conviene farlo usando qualche trasformata di Fourier nota. In fondo le trasformate fondamentali non sono molte: la Gaussiana $e^{-x^2}$, i vari rettangoli e triangoli, il nucleo di Abel $e^{-|x|}$. Non penso ce ne siano altre. Se uno si ricorda queste, o si ricorda come calcolarle (solo una è un pelino più difficile, il nucleo di Abel che richiede il metodo dei residui), poi ricava un sacco di trasformate usando le varie regole di trasformazione: cambio di scala, traslazione, linearità...
\[
\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{(t-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}}\, dt
\]
e
\[
\int_{-\infty}^\infty \left(\frac{1}{(t-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} \right)^2 \, dt
\]
sono convergenti. E questo è un esercizio standard di integrali impropri che si risolve, per esempio, con il criterio di confronto asintotico. Dopodiché occorre calcolare la trasformata di Fourier. Questo conviene farlo usando qualche trasformata di Fourier nota. In fondo le trasformate fondamentali non sono molte: la Gaussiana $e^{-x^2}$, i vari rettangoli e triangoli, il nucleo di Abel $e^{-|x|}$. Non penso ce ne siano altre. Se uno si ricorda queste, o si ricorda come calcolarle (solo una è un pelino più difficile, il nucleo di Abel che richiede il metodo dei residui), poi ricava un sacco di trasformate usando le varie regole di trasformazione: cambio di scala, traslazione, linearità...
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