Trasformata di Fourier
Salve ragazzi, ho un problema con il seguente quesito:
se $ fin L^2(R) $ calcolare la sua trasformata di Fourier. Per il calcolo si può sfruttare il seguente risultato:
$ hat(g) (k)=pi*e^(-2pi| k| ) $ se $ g (x)=1/(1+x^2) $ .
Allora ho verificato che la funzione appartenga a L^2(R) poi ho calcolato la trasformata di Fourier direttamente trovandomi
$ hat(f) (k)=pi/2sign(1+k)e^(-2pi| 1+k| )+pi/2sign(1-k)e^(-2pi| 1-k| ) $
Il problema è che la trasformata la so calcolare direttamente solo che non riesco a calcolarla sfruttando il suggerimento dato dal testo. Qualcuno saprebbe darmi qualche dritta?
Grazie in anticipo e buon newtoniale a tutti!!!
se $ fin L^2(R) $ calcolare la sua trasformata di Fourier. Per il calcolo si può sfruttare il seguente risultato:
$ hat(g) (k)=pi*e^(-2pi| k| ) $ se $ g (x)=1/(1+x^2) $ .
Allora ho verificato che la funzione appartenga a L^2(R) poi ho calcolato la trasformata di Fourier direttamente trovandomi
$ hat(f) (k)=pi/2sign(1+k)e^(-2pi| 1+k| )+pi/2sign(1-k)e^(-2pi| 1-k| ) $
Il problema è che la trasformata la so calcolare direttamente solo che non riesco a calcolarla sfruttando il suggerimento dato dal testo. Qualcuno saprebbe darmi qualche dritta?
Grazie in anticipo e buon newtoniale a tutti!!!
Risposte
Ah dimenticavo la funzione è
$ f(x)=(xsin(2pix))/(1+x^2) $
$ f(x)=(xsin(2pix))/(1+x^2) $
L'idea è quella di ricondurti, attraverso un po' di formule varie, al calcolo della trasformata della funzione $g$. Faccio notare che io uso la seguente forma per la trasformata di Fourier
$$\widehat{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot e^{-ikx}\ dx$$
per la quale la trasformata della funzione $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$ risulta $\hat{g}(k)=\pi e^{-|k|}$. Quello di cui hai bisogno, comunque, sono semplicemente i passaggi da seguire.
Osserva per prima cosa che
$$f(x)=x\sin(2\pi x)\cdot g(x)$$
per cui
$$\widehat{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\sin(2\pi x)\cdot g(x)\cdot e^{-ikx}\ dx$$
Dal momento che $\sin(2\pi x)=\frac{e^{2i\pi x}-e^{-2i\pi x}}{2}$, la cosa precedente si riscrive come
$$\widehat{f}(k)=\frac{1}{2i}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot g(x)\cdot e^{-i(k-2\pi)x}\ dx-\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot g(x)\cdot e^{-i(k+2\pi)x}\ dx\right]$$
Per maneggiare la $x$ moltiplicata nell'integrale, osserviamo invece la cosa seguente: data una funzione $h(x)$ escritta in modo formale la sua trasformata di Fourier
$$\widehat{h}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(x)\cdot e^{-ikx}\ dx$$
possiamo notare che, sempre in modo formale, la sua derivata si riscrive
$$\frac{d\widehat{h}}{dk}(k)=-i\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot h(x)\cdot e^{-ikx}\ dx$$
Ma allora possiamo scrivere
$$\widehat{f}(k)=\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{-i}\left[\frac{d\widehat{g}}{dk}(k-2\pi)-\frac{d\widehat{g}}{dk}(k+2\pi)\right]=\frac{\pi}{2}\frac{d}{dk}\left[e^{-|k-2\pi|}-e^{-|k+2\pi|}\right]$$
e quindi derivando si ottiene la trasformata cercata.
$$\widehat{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)\cdot e^{-ikx}\ dx$$
per la quale la trasformata della funzione $g(x)=\frac{1}{1+x^2}$ risulta $\hat{g}(k)=\pi e^{-|k|}$. Quello di cui hai bisogno, comunque, sono semplicemente i passaggi da seguire.
Osserva per prima cosa che
$$f(x)=x\sin(2\pi x)\cdot g(x)$$
per cui
$$\widehat{f}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty} x\sin(2\pi x)\cdot g(x)\cdot e^{-ikx}\ dx$$
Dal momento che $\sin(2\pi x)=\frac{e^{2i\pi x}-e^{-2i\pi x}}{2}$, la cosa precedente si riscrive come
$$\widehat{f}(k)=\frac{1}{2i}\left[\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot g(x)\cdot e^{-i(k-2\pi)x}\ dx-\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot g(x)\cdot e^{-i(k+2\pi)x}\ dx\right]$$
Per maneggiare la $x$ moltiplicata nell'integrale, osserviamo invece la cosa seguente: data una funzione $h(x)$ escritta in modo formale la sua trasformata di Fourier
$$\widehat{h}(k)=\int_{-\infty}^{+\infty} h(x)\cdot e^{-ikx}\ dx$$
possiamo notare che, sempre in modo formale, la sua derivata si riscrive
$$\frac{d\widehat{h}}{dk}(k)=-i\int_{-\infty}^{+\infty} x\cdot h(x)\cdot e^{-ikx}\ dx$$
Ma allora possiamo scrivere
$$\widehat{f}(k)=\frac{1}{2i}\cdot\frac{1}{-i}\left[\frac{d\widehat{g}}{dk}(k-2\pi)-\frac{d\widehat{g}}{dk}(k+2\pi)\right]=\frac{\pi}{2}\frac{d}{dk}\left[e^{-|k-2\pi|}-e^{-|k+2\pi|}\right]$$
e quindi derivando si ottiene la trasformata cercata.
Ciampax sei stato semplicemente fantastico. Ora ho capito, grazie di cuore.
Prego,figurati. Scusami se non ho usato direttamente la tua definizione di trasformata, ma non mi ricordo mai che coefficienti ci vanno e andarlo al cercare sul momento era una rottura di scatole.
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