Trasformata di Fourier

[AlyAly2]

Ciao a tutti, cercando esercizi sulla trasformata di Fourier ho trovato il seguente esercizio che mi ha causato qualche problema :
Sia $A \in GL(d,RR)$, dimostrare che $ hat(f_A)(xi)=hat(f)((A^t)^(-1)xi) $
dove $ f_A(xi):= |detA|f(At) $
Se non sbaglio
$ hat(f_A)(xi)=int_(RR^d)e^(-2piixi\cdot t)|detA|f(At) dt $
$ hat(f)((A^t)^(-1)xi)=int_(RR^d)e^(-2pii(A^t)^(-1)xi\cdot t)f(t) dt $
ora mi sfugge come riuscire a passare da uno all'altro,ho provato con un cambio di variabile ma non ho concluso nulla...
qualche idea?
Grazie in anticipo a tutti!!

[Paolo902]

Dunque, se intendo bene tu hai $f: \RR^d \to \RR$ che appartiene a $L^1(\RR^d)$ e una matrice $A \in GL(d,\RR)$.
Poni
\[
f_A(x):= \vert \det A \vert f(Ax)
\]
e ti chiedi chi è \( \hat{f_A}(\xi)\). Facciamo il conto:
\[
\hat{f_A}(\xi) = \int_{\mathbb R^{d}} e^{-2\pi i \langle x, \xi \rangle } \vert \det A \vert f(Ax) dx = \int_{\mathbb R^d} e^{-2\pi i \langle A^{-1}y, \xi \rangle} f(y)dy
\]
dove l'uguaglianza è giustificata dal teorema del cambiamento di variabili; a questo punto, basta ricordare la seguente utile proprietà del prodotto scalare:
\[
\langle Av, w \rangle = \langle v, A^{t}w \rangle, \qquad \forall v,w \in \mathbb R^d
\]
Ne consegue che il secondo membro dell'uguaglianza di sopra è proprio \(\hat{f}((A^{-1})^t\xi)\).

[AlyAly2]

"Paolo90":
\[ \hat{f_A}(\xi) = \int_{\mathbb R^{d}} e^{-2\pi i \langle x, \xi \rangle } \vert \det A \vert f(Ax) dx = \int_{\mathbb R^d} e^{-2\pi i \langle A^{-1}y, \xi \rangle} f(y)dy \]
dove l'uguaglianza è giustificata dal teorema del cambiamento di variabili;

scusa, non ho capito bene come fai a fare questo passaggio..ponendo $y=Ax$ ottengo che
$\int_{\mathbb R^{d}} e^{-2\pi i \langle x, \xi \rangle } |det A | f(Ax) dx=\int_{\mathbb R^d} e^{-2\pi i \langle A^{-1}y, \xi \rangle} |detA|f(y)A^(-1)dy$
e poi come fai a dire che $|detA|A^(-1)=1$?

[Paolo902]

"AlyAly":
scusa, non ho capito bene come fai a fare questo passaggio..ponendo $y=Ax$ ottengo che
$\int_{\mathbb R^{d}} e^{-2\pi i \langle x, \xi \rangle } |det A | f(Ax) dx=\int_{\mathbb R^d} e^{-2\pi i \langle A^{-1}y, \xi \rangle} |detA|f(y)A^(-1)dy$

Questa uguaglianza è priva di senso, a primo membro hai un numero reale a secondo membro una matrice (da dove esce quell'$A^{-1}$?). Sei sicura di aver applicato bene il teorema di cambiamento di variabili?

"AlyAly":e poi come fai a dire che $|detA|A^(-1)=1$?

Vale la stessa considerazione di sopra: che cosa vuol dire quell'uguaglianza tra una matrice e un numero reale? O forse intendi con $1$ la matrice identica?

[AlyAly2]

Si,intendo la matrice identica. Mi sa che sto facendo un pò di confusione..mi faresti vedere come va applicato in modo corretto il teorema di cambiamento di variabili?

[Paolo902]

"AlyAly":Si,intendo la matrice identica.

Purtroppo anche in questo caso, l'uguaglianza sopra continuerebbe ad essere senza senso.

Ad ogni modo, il teorema di cambiamento di variabile si applica come ti ho indicato sopra; si pone $y=Ax$, si ricava che \( dy =\vert \det A \vert dx \) (in generale qui avresti il determinante jacobiano del cambio di variabili) da cui segue la formula che ho scritto sopra. Per maggiori dettagli ti rimando a questa pagina o meglio ancora a un qualunque buon libro di Analisi II.

[AlyAly2]

ok,tutto chiaro,mi ricordavo male la formula Grazie!

[Paolo902]

Prego, figurati.