Trasformata di Fourier

[Seigi]

Oggi ho dato l'esame di metodi matematici e avrò i risultato solo lunedì. Nel frattempo vi sarei grato se mi svolgeste questa trasfornata di Fourier di un segnale periodico, così nel frattempo posso farmi un'idea di come sono andato, grazie mille a tutti.

[tex]x(t)= |e^t-1|[/tex] con [tex]t\in[-1,1][/tex]

[Demostene92]

Se è un segnale periodico, cioè che si ripete lungo tutto l'asse temporale lo puoi scrivere così:

$x(t)=f(t)**\sum_{n=-\infty}^(+\infty)\delta(t-2n)$, dove $f(t)=|e^t-1|$

Ma la convoluzione equivale al prodotto delle trasformate, cioè:

$\hat(x)(\xi)=\hat(f)(\xi)*F{\sum_{n=-\infty}^(+\infty)\delta(t-2n)}(\xi)$

La funzione $f(t)$ si può scrivere: $f(t)=|e^t-1|=\{(e^t-1, 0<=t<=1), (1-e^t, -1<=t<0), (0, \text{altrove}):}$.

Dunque la trasformata di $f(t)$ sarà:

$\hat(f)(\xi)=\int_{-\infty}^(+\infty)f(t)e^(-i\xit)dt=\int_{-1}^(0)(1-e^t)e^(-i\xit)dt+\int_{0}^(1)(e^t-1)e^(-i\xit)dt=$

$=\int_{-1}^(0)e^(-i\xit)dt-\int_{-1}^(0)e^[(1-i\xi)t]dt+\int_{0}^(1)e^[(1-i\xi)t]dt-\int_{0}^(1)e^(-i\xit)dt$=

$=(2i)/\xi-2(1+i\xi)/(1+\xi^2)-2i(cos\xi)/\xi+2(1+i\xi)/(1+\xi^2)cos(1-i\xi)$,

sempre se non ho fatto errori .

La trasformata della somma di $\delta$ è: $\hat(g)(\xi)=1/2\sum_{n=-\infty}^(+\infty)\delta(\xi-n/2)$.

E quindi $\hat(x)(\xi)=\hat(f)(\xi)*\hat(g)(\xi)=1/2\sum_{n=-\infty}^(+\infty)\hat(f)(n/2)\delta(\xi-n/2)$.

Spero di non aver scritto castronerie

[Seigi]

Fino agli integrali mi trovo, poi però ho lasciato tutto in forma esponenziale nel fare i calcoli, spero vada bene comunque :/

[Demostene92]

Sì, io ho semplicemente sfruttato il fatto che $[e^(ix)+e^(-ix)]/2=cosx$, ma lasciato in forma esponenziale va bene