Trasformata di Fourier

[jakojako]

Salve a tutti!!! Qualcuno potrebbe cortesemente suggerirmi come dimostrare che l'insieme delle funzioni L^1 con trasformata in L^1, è denso C_0(R^n), dove quest'ultimo insieme è costituito dalle funzioni continue con limite uguale a 0? Vi ringrazio anticipatamente!!!

[gugo82]

Insomma, qui si tratta di far vedere due cose: 1 che la classe \(U:=\{u\in L^1(\mathbb{R}^N):\ \mathcal{F}\in L^1(\mathbb{R}^N)\}\) è contenuta in \(C_0(\mathbb{R}^N)\) e 2 che \(U\) è denso in \(C_0(\mathbb{R}^N)\).

Se non vedo male, la 1 è una diretta conseguenza della formula di inversione per la TdF e del lemma di Riemann-Lebesgue.
Per quel che riguarda la 2, non è che riesci a far vedere che \(C_c(\mathbb{R}^N)\subseteq U\)?
In tal caso saresti a cavallo... Altrimenti devi inventarti altro.

[jakojako]

A che scopo mostrare che le funzione continue a supporto compatto sono contenute in U? Piuttosto, sapere che l'insieme U è denso in L^p di R^n, potrebbe aiutarmi ai fini della dimostrazione?

[gugo82]

"jakojako":A che scopo mostrare che le funzione continue a supporto compatto sono contenute in U?

Beh, ho dato per contato che sapessi che \(C_0(\mathbb{R}^N)\) è la chiusura di \(C_c(\mathbb{R}^N)\) rispetto a \(\| \cdot\|_\infty\), cioè che \(\overline{C_c(\mathbb{R}^N)}^{\| \cdot \|_\infty} = C_0(\mathbb{R}^N)\).
Quindi, se riuscissi a mostrare che \(C_c(\mathbb{R}^N) \subseteq U\), otterresti subito \(C_0(\mathbb{R}^N) = \overline{C_c(\mathbb{R}^N)}^{\| \cdot \|_\infty} \subseteq \overline{U}^{\| \cdot \|_\infty} \subseteq C_0(\mathbb{R}^N)\), da cui la densità di \(U\).

"jakojako":Piuttosto, sapere che l'insieme U è denso in L^p di R^n, potrebbe aiutarmi ai fini della dimostrazione?

Non credo, perchè \(C_0(\mathbb{R}^N) \not\subseteq L^p(\mathbb{R}^N)\).

[jakojako]

Avevo trascurato che le funzioni continue a supporto compatto fossero dense in quelle continue con limite nullo. Beh la tua idea mi sembra più che convincente a questo punto. Provo a metterla in atto, grazie mille!