Trasformata di $ delta (2t-1) $
Ciao a tutti.
Volevo chiedervi come si trasforma secondo Fourier la $ delta (2t - 1) $
Grazie.
Volevo chiedervi come si trasforma secondo Fourier la $ delta (2t - 1) $
Grazie.
Risposte
"dean86":
Ciao a tutti.
Volevo chiedervi come si trasforma secondo Fourier la $ delta (2t - 1) $
Grazie.
Sai in generale qual'è la trasformata di Fourier di una misura?
Se no come hai definito la trasformata di Fourier? Cioè su quali funzioni l'hai definita?
Cioè come mai puoi fare la trasformata di Fourier della delta di Dirac?
Non è molto confortante fare una domanda ed essere risposto con 3 domande.So fare la trasforma di Fourier di $delta(t)$, di $delta(t-1)$, ma ho qualche difficoltà con la $delta(2t-1)$.
Qualcuno mi può AIUTARE?
"dean86":
:shock: Non è molto confortante fare una domanda ed essere risposto con 3 domande.
So fare la trasforma di Fourier di $delta(t)$, di $delta(t-1)$, ma ho qualche difficoltà con la $delta(2t-1)$.
Qualcuno mi può AIUTARE?
Va bene.
Spiega allora come fai a fare la trasformata di Fourier di $delta(t-1)$ ad esempio, così partiamo da lì.
la risposta alla mia domanda è per caso $1/2e^(-j2 pi f)$ ?
"dean86":
la risposta alla mia domanda è per caso $1/2e^(-j2 pi f)$ ?
La trasformata di Fourier si può definire in vari modi con dei fattori $2\pi$ che variano.
Per questo ti richiedo ancora una volta:
dacci la tua definizione di trasformata di Fourier così possiamo aiutarti
Suppongo tu abbia come definizione di trasformata $\hat u(f) = \int_\RR u(t) e^{-j2\pi f t} dt$
La definizione formale della trasformata di Fourier per una distribuzione temperata $u \in S'(\RR)$ è $<\hat u, v> =$ $\forall v \in S(\RR)$.
In questo caso bisogna studiare il funzionale $<\delta(2t -1), \hat v(t)>$ che simbolicamente equivale a $\int_\RR \delta(2t-1) \hat v(t) dt$ con un cambio di variabili $z=2t -1$ si ottiene $\int_\RR 1/2 \delta(z) \hat v((z+1)/2)dz = <1/2 \delta(z), \hat v((z+1)/2) >$
Per definizione $<\delta(z), h(z)> = h(0)$, dunque si ottiene $<1/2 \delta(z), \hat v((z+1)/2) > = 1/2\hat v(1/2) = 1/2\int_RR v(x) e^{-j2\pi x 1/2} dx = <1/2 e^{-j\pi x}, v(x)>$
da cui per uguaglianza dei funzionali si deduce che $\mathcal{F}[\delta(2t -1)] (f) = 1/2 e^{-j\pi f}$
Tu questo con (abbastanza) rigore matematico.
Dal punto di vista pratico (che discende dal fatto che la delta è anche una distribuzione a supporto compatto), la trasformata è valutabile come $<\delta(x), e^{-j2\pi f x}> = \int_\RR \delta(x) e^{-j2\pi f x} dx$
In questo caso si ha $\int_\RR \delta(2t -1) e^{-j2\pi f t} dt = \int_\RR 1/2 \delta(z) e^{-j2\pi f (z+1)/2} dz = 1/2 e^{-j2\pi f (z+1)/2} |_{z=0} = 1/2 e^{-j\pi f}$
La definizione formale della trasformata di Fourier per una distribuzione temperata $u \in S'(\RR)$ è $<\hat u, v> =
In questo caso bisogna studiare il funzionale $<\delta(2t -1), \hat v(t)>$ che simbolicamente equivale a $\int_\RR \delta(2t-1) \hat v(t) dt$ con un cambio di variabili $z=2t -1$ si ottiene $\int_\RR 1/2 \delta(z) \hat v((z+1)/2)dz = <1/2 \delta(z), \hat v((z+1)/2) >$
Per definizione $<\delta(z), h(z)> = h(0)$, dunque si ottiene $<1/2 \delta(z), \hat v((z+1)/2) > = 1/2\hat v(1/2) = 1/2\int_RR v(x) e^{-j2\pi x 1/2} dx = <1/2 e^{-j\pi x}, v(x)>$
da cui per uguaglianza dei funzionali si deduce che $\mathcal{F}[\delta(2t -1)] (f) = 1/2 e^{-j\pi f}$
Tu questo con (abbastanza) rigore matematico.
Dal punto di vista pratico (che discende dal fatto che la delta è anche una distribuzione a supporto compatto), la trasformata è valutabile come $<\delta(x), e^{-j2\pi f x}> = \int_\RR \delta(x) e^{-j2\pi f x} dx$
In questo caso si ha $\int_\RR \delta(2t -1) e^{-j2\pi f t} dt = \int_\RR 1/2 \delta(z) e^{-j2\pi f (z+1)/2} dz = 1/2 e^{-j2\pi f (z+1)/2} |_{z=0} = 1/2 e^{-j\pi f}$
Non è molto confortante fare una domanda ed essere risposto con 3 domande. [...]
Qualcuno mi può AIUTARE?
[mod="dissonance"]Caro Dean, vedi di cambiare atteggiamento. Ti senti in dovere di essere aiutato, e la gente come te non è ben accetta qui. Misanino è un utente esperto e sa quello che dice: se ti ha posto delle domande c'è un motivo, che è quello di capire che tipo di fondamenta teoriche hai. Questo argomento (distribuzioni) può infatti essere affrontato a molti livelli diversi di approfondimento, e l'approccio di un matematico può essere molto diverso da quello di un ingegnere o di un fisico, ad esempio.
Grazie per l'attenzione.[/mod]
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