Trasformata di Cayley, omeomorfismi e Rudin
Ciao a tutti.
Sto studiando analisi complessa e ho un dubbio sulle trasformazioni lineari fratte. Per la precisione il mio dubbio è dovuto a una discussione sulla trasformata di Cayley in Real and complex analysis di Rudin.
Nell'analizzare la trasformazione lineare fratta
$ zrarr frac{1+z}{1-z} $
osserva innanzitutto che i punti $ {-1,0,1} $ vengono mappati nei punti $ {0,1,infty} $.
Successivamente osserva che il segmento $(-1,1)$ viene mappato sull'asse reale positivo, il cerchio unitario viene mappato sull'asse immaginario, e conclude che poiché $0$ viene mappato in $1$, la mappa è una mappa conforme uno a uno che manda il disco unitario sul semipiano destro.
Quello che non capisco è come faccia a concludere con questi pochi dati.
L'idea che mi sono fatto è questa:
le trasformazioni lineari fratte possono essere viste come biolomorfismi della sfera di riemann in se, e quindi come omeomorfismi se consideriamo la topologia indotta. Allora poiché il dominio è connesso con complementare connesso, l'immagine dovrà essere connessa con complementare connesso. Di conseguenza per determinare l'immagine basta andare a vedere dove va il bordo e controllare dove viene mappato un punto interno al dominio.
Il problema è che non riesco a trovare niente che dia supporto alla mia idea.
Voi che ne pensate?
Sto studiando analisi complessa e ho un dubbio sulle trasformazioni lineari fratte. Per la precisione il mio dubbio è dovuto a una discussione sulla trasformata di Cayley in Real and complex analysis di Rudin.
Nell'analizzare la trasformazione lineare fratta
$ zrarr frac{1+z}{1-z} $
osserva innanzitutto che i punti $ {-1,0,1} $ vengono mappati nei punti $ {0,1,infty} $.
Successivamente osserva che il segmento $(-1,1)$ viene mappato sull'asse reale positivo, il cerchio unitario viene mappato sull'asse immaginario, e conclude che poiché $0$ viene mappato in $1$, la mappa è una mappa conforme uno a uno che manda il disco unitario sul semipiano destro.
Quello che non capisco è come faccia a concludere con questi pochi dati.
L'idea che mi sono fatto è questa:
le trasformazioni lineari fratte possono essere viste come biolomorfismi della sfera di riemann in se, e quindi come omeomorfismi se consideriamo la topologia indotta. Allora poiché il dominio è connesso con complementare connesso, l'immagine dovrà essere connessa con complementare connesso. Di conseguenza per determinare l'immagine basta andare a vedere dove va il bordo e controllare dove viene mappato un punto interno al dominio.
Il problema è che non riesco a trovare niente che dia supporto alla mia idea.
Voi che ne pensate?
Risposte
E' esattamente così.
Grazie della disponibilità. 
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