Trasformare un rapporto (somma di una serie?)

[qwertyuio1]

Ho una scrittura del tipo $(a*x+b)/(b*x+a)$, con $x\in[-1,1]$. Vorrei che, in qualche modo la $x$ fosse solo al numeratore. E' possibile? Mi andrebbe bene anche scrivere il rapporto come la somma di una serie. Avete idee?
Grazie per l'aiuto

Ah, se può essere utile, $a=cosh(t)$, $b=sinh(t)$, con $t\in[0,\epsilon]$.

[qwertyuio1]

Nessuno? Ne avrei davvero bisogno per andare avanti a risolvere un problema. Grazie!

[gugo82]

[mod="gugo82"]La prossima volta che non rispetti il regolamento sugli up (cfr 3.4) ti blocco il thread per una settimana.
Non è possibile che un utente con un numero di post così alto ancora non conosca le regole fondamentali del foro.[/mod]

"qwertyuio":Ho una scrittura del tipo $(a*x+b)/(b*x+a)$, con $x\in[-1,1]$. Vorrei che, in qualche modo la $x$ fosse solo al numeratore. E' possibile?

Algebricamente no...

"qwertyuio":Mi andrebbe bene anche scrivere il rapporto come la somma di una serie. Avete idee?

... Ma analiticamente sì.

Ricorda che [tex]$\frac{1}{a+bx} =\frac{1}{a}\ \frac{1}{1+\frac{b}{a}\ x}$[/tex] e ricorda la somma di una serie geometrica.

"qwertyuio":Ah, se può essere utile, $a=cosh(t)$, $b=sinh(t)$, con $t\in[0,\epsilon]$.

Potrebbe essere utile a te nel fare i conti.

[qwertyuio1]

Scusa ma non sapevo che non si potesse sollecitare una risposta: lo terrò presente!
Ho provato con la serie geometrica, ma purtroppo non funziona perché il valore candidato ad essere la ragione della serie è più grande di 1.

[gugo82]

Se non sbaglio, con un po' di passaggi ti riconduci a:

[tex]$\frac{a}{b}+\left( \frac{b}{a} -\frac{a}{b}\right) \ \frac{1}{1+\frac{b}{a}\ x}$[/tex]

con il secondo addendo al secondo membro sviluppabile in serie di potenze per [tex]$|x|< \frac{a}{b}$[/tex]; ma [tex]$\frac{a}{b} =\frac{1}{\tanh t}$[/tex] è [tex]$> 1$[/tex] perchè [tex]$0\leq \tanh t<1$[/tex] per [tex]$t\geq 0$[/tex]; perciò si ha [tex]$[-1,1] \subset ]-\tfrac{a}{b} ,\tfrac{a}{b}[$[/tex], quindi la tua funzione è sviluppabile in serie in [tex]$[-1,1]$[/tex].

[qwertyuio1]

Stai sempre parlando del solo $1/(a+bx)$, giusto? Non ho capito come arrivi alla forma che hai scritto.
Dimmi se comunque ho capito bene:
$1/(a+bx)=1/a 1/(1+b/a x)=1/a 1/(1-(-b/a x))=\sum_{k=0}^\infty (-b/a x)^k$
dove l'ultimo uguale (somma della serie geometrica) vale se e solo se
$|-b/a x|<1 \Leftrightarrow |x| quindi, visto che $1/tanh(t)>1$ (il mio t>0), lo sviluppo vale per ogni x con $|x|<=1$.

[gugo82]

"qwertyuio":Stai sempre parlando del solo $1/(a+bx)$, giusto? Non ho capito come arrivi alla forma che hai scritto.

Nono, parlavo di "tutto il cucuzzaro"; ossia:

[tex]$\frac{a\ x+b}{b\ x+a} =\frac{a}{b}+\left( \frac{b}{a} -\frac{a}{b}\right) \ \frac{1}{1+\frac{b}{a}\ x}$[/tex].

Ah, ricorda anche che [tex]$b^2-a^2=\sinh^2 t-\cosh^2 t=-1$[/tex] e [tex]$2\sinh t\ \cosh t =\sinh 2t$[/tex], cosicché:

[tex]$\frac{b}{a} -\frac{a}{b} = \frac{b^2-a^2}{ab} =-\frac{2}{\sinh 2t}$[/tex];

potrebbe servirti per semplificare qualcosa.

[qwertyuio1]

Ok, il tuo conto mi torna. Grazie mille!