Trasformare in coordinate polari

[Knuckles1]

sia
$\int\int_De^(logy+1/(x^2+1)) dxdy$

scrivere una formula di riduzione ad integrali semplici in coordinate polari essendo $D={(x,y)\inRR^2: x^2+y^2<=2x+2y;x<=y<=2x}$

ho provato a traslare la cfr nell'origine con un cambio di variabili ($u=x-1;v=y-1;$ con Jacobiano=1) solo che poi non riuscivo a capire come variano rho e theta...
allora ho provato a lasciare la cfr li dove è, però anche così mi è difficile capire come variano rho e theta, o meglio rho varia tra $2sqrt(2)$ e cosa? e theta varia tra $pi/4$ e cosa? ho provato anche a trovare un valore numerico di rho e theta per i secondi estremi, con distanza tra due punti $->6sqrt(5)/5$ e di conseguenza ho trovato theta $->arccos(sqrt(5)/5)$ ma non credo sia corretto... qualche aiuto?

[Knuckles1]

un aiutino?

[G.D.5]

Attenzione agli up: non prima di 72 ore, come da regolamento.
Grazie.

[Knuckles1]

ok...

[dissonance]

Sei sicuro di aver capito bene com'è fatto il dominio di integrazione? Guarda, qui è come lo disegna Wolfram Alpha:

[EDIT] Errore.
Come vedi si tratta di un semplice settore di circonferenza di centro l'origine, pronto per essere espresso in maniera molto semplice in coordinate polari. Non devi traslare niente né fare altre magie geometriche.

[mod="dissonance"]Detto questo, vedo che sei stato ripreso da WiZaRd per un up ravvicinato. Un tuo vecchio vizio direi, no? Vediamo di perdere questo vizio: chiudo il topic fino a domani. Il suggerimento di sopra è più che sufficiente a farti risolvere l'esercizio.[/mod]

[mod="dissonance"]Topic sbloccato.[/mod]

[andra_zx]

@dissonance: scusa l' intromissione, ma come mai dici che il dominio D è una settore di circongerenza di centro l' origine ? Sarebbe centrato nell' origine su avessimo: $x^2 + y^2 <= 1$ invece nel nostro caso è: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 <= 1$, quindi dovrebbe essere centrato in (1,1) secondo me.
Oppure ho preso un abbaglio ?

[Knuckles1]

si quello che dici te è giusto andra_zx, ma effettivamente come dice dissonance è giusto perchè l'altro pezzo del dominio dice che $x<=y<=2x$ che mi da proprio un settore circolare.... però il raggio mi sa che non è lo stesso... quindi? forse andra_zx ha ragione...

[Knuckles1]

dissonance mi potresti per caso chiarire perchè è un settore circolare? perchè non mi sembra che il raggio sia lo stesso grazie

[dissonance]

@Knuckles: no, l'altro pezzo ($x <= y <= 2x$) è l'intersezione di due semipiani: $ x <=y $ e $y<=2x$ .
[asvg]axes(); plot("x"); plot("2x");
var incr = 0.05; // distanza tra due rette verticali

var xm = 5;

var xi = xm/incr;
function fillRegion (xmin, xmax, color) {
var x1, y1,y2;

stroke=color;

for (var x=xmin; x< xmax; x++) {
x1 = incr*x;
y1 = x1;
y2 = 2*x1;

// traccia la retta
line([x1,y1 ], [x1, y2]);
}
}

fillRegion(-xi, xi, "cadetblue");[/asvg]
Il dominio di integrazione è l'intersezione di questa roba con $x^2+y^2<=2x+2y$. E avete ragione: si tratta del cerchio pieno di centro $(1, 1)$ e raggio $sqrt(2)$ (si può riscrivere come $x^2+y^2-2x-2y<=0$, ovvero come $x^2-2x+1 +y^2 -2y +1 <= 2$, ovvero come $(x-1)^2+(y-1)^2<=2$). Il risultato è il disegno del post precedente che effettivamente non è un settore circolare di centro l'origine, anzi per la verità non è proprio un settore circolare. @Knuckles: scusa.

Il problema è che traslarlo non serve a niente, sarà sempre "messo male" rispetto ai due semipiani.

[Knuckles1]

quindi?

[dissonance]

Quindi, intanto si vede subito come deve variare $theta$, e si vede dal secondo disegno: deve andare dalla retta a pendenza $1$ (ovvero $y=x$) alla retta a pendenza $2$ (ovvero $y=2x$). Cioè la tangente di $theta$ deve andare da $1$ a $2$ e questo si realizza per $pi/4 <= theta <= arctan 2$. Chiaro fin qui?

$rho$ invece deve essere funzione di $theta$. Se il dominio fosse stato un settore circolare, $rho$ sarebbe stata semplicemente una costante; invece ora deve variare. Per capire come, dobbiamo evidentemente mettere mano all'altra diseguaglianza del dominio, quella che non abbiamo ancora toccato: $x^2+y^2<=2x+2y$. Ricordiamo le formule di passaggio da coordinate cartesiane a polari:

${(x= \rho \cos \theta), (y = \rho \sin \theta):}$

Basta andare a sostituire nella disuguaglianza precedente per ottenere $\rho <= 2cos \theta + 2\sin \theta $. In conclusione il dominio si esprime in coordinate polari come

$D: {(pi/4 <= \theta <= \arctan 2), ( 0<= \rho <= 2\cos \theta + 2 \sin \theta ):}$

[Knuckles1]

giusto... grazie dell'aiuto

[andra_zx]

ma il limite inferiore si $\rho$ sarebbe 0 vero ?

[Knuckles1]

si direi proprio di si

[dissonance]

Si, certo, l'avevo dato per scontato. Ho corretto