Tracciare il grafico qualitativo di una funzione

StudenteSerio1
Salve a tutti.
Mi trovo per la prima volta a dover tracciare il grafico qualitativo di una funzione di cui non conosco l'equazione ma di cui ho delle informazioni. Ho seguito un procedimento e volevo condividerlo con voi per avere dei consigli o delle eventuali correzioni. Grazie.

La traccia dell'esercizio è la seguente:


Traccia il grafico qualitativo della funzione [tex]f(x)[/tex], definita e derivabile per [tex]x>-1[/tex],
passante per l'origine, con [tex]\lim_{x \to -1} f(x) = +\infty[/tex], [tex]f(2)=1[/tex] massimo, [tex]f'>0[/tex] solo per [tex]0 < x < 2[/tex] , [tex]y=0[/tex] come asintoto orizzontale. Determina il numero di soluzioni dell'equazione [tex]f(x)=k[/tex] al variare di [tex]k[/tex] reale.


Questi sono i passi che ho seguito:

    1) La funzione è definita e derivabile solo per [tex]x>-1[/tex], quindi escludo tutto ciò che viene prima di [tex]x=-1[/tex].[/list:u:3j7v5blx]
      2) Segno l'origine degli assi come punto sul grafico.[/list:u:3j7v5blx]
        3) Il limite [tex]\lim_{x \to -1} f(x) = +\infty[/tex] segnala la presenza di un asintoto verticale in [tex]x=-1[/tex].[/list:u:3j7v5blx]
          4) Si ha un punto di massimo in [tex](2,1).[/tex][/list:u:3j7v5blx]
            5) Sapendo che [tex]f'>0[/tex] solo per [tex]0 < x < 2[/tex], la funzione per [tex]x>-1[/tex] partirà da [tex]+ \infty[/tex] e descrescerà fino all'origine.[/list:u:3j7v5blx]
              6) Tra [tex]0[/tex] e [tex]2[/tex], la funzione crescerà visto che [tex]f'>0[/tex].[/list:u:3j7v5blx]
                7) Infine, tra [tex]0[/tex] e [tex]+\infty[/tex] la funzione decrescerà tendendo allo zero vista la presenza dell'asintoto orizzontale [tex]y=0[/tex].[/list:u:3j7v5blx]

                Così, ho potuto farmi un'idea del grafico risultante.

                Per determinare il numero di soluzioni ho immaginato di intersecare graficamente le rette di equazione [tex]y = k[/tex] con la funzione considerando, di volta in volta, il valore di [tex]k[/tex].

                Per [tex]k<0 \Rightarrow[/tex] nessuna soluzione.
                Per [tex]k=0 \Rightarrow[/tex] una soluzione.
                Per [tex]0 < k < 1 \Rightarrow[/tex] tre soluzioni.
                Per [tex]k=1 \Rightarrow[/tex] due soluzioni.
                Per [tex]k>1 \Rightarrow[/tex] una soluzione.

                Allego anche l'immagine del grafico che ho costruito in base al procedimento seguito.



                Spero possiate darmi una mano nel capire se ho svolto correttamente l'esercizio.
                Grazie anticipatamente.

Risposte
pilloeffe
Ciao StudenteSerio,

Mi pare sostanzialmente corretto, a parte quello spigolo in $0$ ed un più probabile cambiamento di concavità (sempre con $f' > 0 $) fino ad arrivare al punto di massimo $M(2,1) $.
Ora devo scappare, ma dopo se ho un po' più di tempo provo anche a pensare ad una possibile espressione analitica della funzione $f$... :wink:

StudenteSerio1
"pilloeffe":
Ciao StudenteSerio,

Mi pare sostanzialmente corretto, a parte quello spigolo in $0$ ed un più probabile cambiamento di concavità (sempre con $f' > 0 $) fino ad arrivare al punto di massimo $M(2,1) $.
Ora devo scappare, ma dopo se ho un po' più di tempo provo anche a pensare ad una possibile espressione analitica della funzione $f$... :wink:


Grazie mille pilloeffe per le osservazioni. Se hai tempo, mi farebbe piacere conoscere l'espressione analitica.

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