Tracciare il grafico
Ragazzi mi trovo a dover tracciare il grafico di \[f(x) = \left| {\ln (x)} \right|\]
derivo e ottengo \[f'(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1/x\quad se\quad x > 0}\\
{non\,derivabile\;se\;x = 0}\\
{ - 1/x\quad se\quad x < 0}
\end{array}} \right.\]
-per \[{x > 1}\] la funzione cresce strettamente come se fosse \[f(x) = \ln (x)\]
-per \[0 < x < 1\] la funzione decresce strettamente come se fosse \[f(x) = - \ln (x)\]
-per \[{x < 0}\] certamente cresce perché me lo dice la derivata prima
però ho dubbi sulla sua esistenza, perché come faccio a calcolare il logaritmo naturale di un numero negativo e poi dire che il suo valore assoluto è reale?
Quindi ho dubbi sia se è definita o meno e sia come sia possibile calcolare numericamente per provare il logaritmo di un numero negativo.
derivo e ottengo \[f'(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{1/x\quad se\quad x > 0}\\
{non\,derivabile\;se\;x = 0}\\
{ - 1/x\quad se\quad x < 0}
\end{array}} \right.\]
-per \[{x > 1}\] la funzione cresce strettamente come se fosse \[f(x) = \ln (x)\]
-per \[0 < x < 1\] la funzione decresce strettamente come se fosse \[f(x) = - \ln (x)\]
-per \[{x < 0}\] certamente cresce perché me lo dice la derivata prima
però ho dubbi sulla sua esistenza, perché come faccio a calcolare il logaritmo naturale di un numero negativo e poi dire che il suo valore assoluto è reale?
Quindi ho dubbi sia se è definita o meno e sia come sia possibile calcolare numericamente per provare il logaritmo di un numero negativo.
Risposte
Mi sembra che tu abbia sbagliato la definizione di valore assoluto:
$f(x)=|log(x)|$
$f(x)={(log(x),if log(x)>=0),(-log(x),if log(x)<0):}$
$f(x)={(log(x),if x>=1),(-log(x),if 0
Adesso verifichiamo la continuità nel punto di raccordo ovvero $x=1$
$lim_(x->1^(+-)) |log(x)|=0$
Quindi la funzione è continua in $x=1$
Vediamo se $f(x)$ è derivabile in $x=1$ ( non possiamo stabilirlo a priori):
$ f '(x)={(1/x,if x>1),(-1/x,if 0
$f(x)$ è derivabile in $x=1$ se e solo esistono finiti ed uguali i rapporti incrementali per $x->1^(-)$ ed $x->1^(+)$, ma questo punto penso che tu possa verificarlo da solo
$f(x)=|log(x)|$
$f(x)={(log(x),if log(x)>=0),(-log(x),if log(x)<0):}$
$f(x)={(log(x),if x>=1),(-log(x),if 0
Adesso verifichiamo la continuità nel punto di raccordo ovvero $x=1$
$lim_(x->1^(+-)) |log(x)|=0$
Quindi la funzione è continua in $x=1$
Vediamo se $f(x)$ è derivabile in $x=1$ ( non possiamo stabilirlo a priori):
$ f '(x)={(1/x,if x>1),(-1/x,if 0
$f(x)$ è derivabile in $x=1$ se e solo esistono finiti ed uguali i rapporti incrementali per $x->1^(-)$ ed $x->1^(+)$, ma questo punto penso che tu possa verificarlo da solo
Ciao obi!
di fronte a una situazione come quella presentata da nitidoz io avrei ragionato così: traccio il grafico di lnx che conosco e poi la parte negativa l'avrei "specchiata" rispetto all'asse x, si osserva che è continua in (1;0), per quanto riguarda la derivabilità rispetto al punto (1;0) si vede subito che...
Ti pare corretto obi?
di fronte a una situazione come quella presentata da nitidoz io avrei ragionato così: traccio il grafico di lnx che conosco e poi la parte negativa l'avrei "specchiata" rispetto all'asse x, si osserva che è continua in (1;0), per quanto riguarda la derivabilità rispetto al punto (1;0) si vede subito che...
Ti pare corretto obi?
Ciao gio73,
per quanto riguarda la parte positiva della semiretta di x siamo d'accordo, basta specchiare rispetto ad essa il tratto tra \[[0;1]\] di ln x.
La mia domanda riguarda la parte negativa di x.
E' definita?
Il mio dubbio sta nel fatto che se faccio il logaritmo di un numero negativo esiste solo nel campo complesso però facendo a sua volta il valore assoluto di quest'ultimo è definito nel campo dei numeri reali (lo posso tracciare?)... perché?
Qualcuno mi può dare una spiegazione....grazie.
per quanto riguarda la parte positiva della semiretta di x siamo d'accordo, basta specchiare rispetto ad essa il tratto tra \[[0;1]\] di ln x.
La mia domanda riguarda la parte negativa di x.
E' definita?
Il mio dubbio sta nel fatto che se faccio il logaritmo di un numero negativo esiste solo nel campo complesso però facendo a sua volta il valore assoluto di quest'ultimo è definito nel campo dei numeri reali (lo posso tracciare?)... perché?
Qualcuno mi può dare una spiegazione....grazie.
Ciao nitidoz! No 
in questo esercizio stai lavorando (suppongo) in $RR$, cioè hai una funzione $f:X\subset RR\to RR$. Quindi non ha senso dire che la funzione, per $x<0$, assume valori in $CC$.
La tua funzione è fatta così:
\[f(x)=|g(x)|=|\ln x|\]
Ora questa roba "esiste" (nel senso che ha senso compiere quell'operazione in $RR$!) per tutti quei valori per cui esiste $g(x)=\ln x$ (gli $x>0$). Esempio. Prendiamo $x=-1$. In $RR$, l'espressione $\ln (-1)$ non ha significato, quindi come fai a calcolare il modulo di un qualcosa che non ha senso, non esiste? (e, ripetiamo, non esiste dal momento che ci troviamo in $RR$).
Se invece tu avessi definito la funzione come $f:X\subset RR\to CC$, allora avresti potuto fare quel discorso lì. Non so se mi sono spiegato
in questo esercizio stai lavorando (suppongo) in $RR$, cioè hai una funzione $f:X\subset RR\to RR$. Quindi non ha senso dire che la funzione, per $x<0$, assume valori in $CC$.La tua funzione è fatta così:
\[f(x)=|g(x)|=|\ln x|\]
Ora questa roba "esiste" (nel senso che ha senso compiere quell'operazione in $RR$!) per tutti quei valori per cui esiste $g(x)=\ln x$ (gli $x>0$). Esempio. Prendiamo $x=-1$. In $RR$, l'espressione $\ln (-1)$ non ha significato, quindi come fai a calcolare il modulo di un qualcosa che non ha senso, non esiste? (e, ripetiamo, non esiste dal momento che ci troviamo in $RR$).
Se invece tu avessi definito la funzione come $f:X\subset RR\to CC$, allora avresti potuto fare quel discorso lì. Non so se mi sono spiegato
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%7Cln%28x%29%7C
Guarda qui. Lui disegna il grafico come te lo aspetti tu, perchè lavora "di default" con funzioni da $CC$ in $CC$. Però poi, in basso, dice:
Properties as a real function (quindi proprietà di $f$ se considerata funzione reale)
e ti da il dominio corretto ($x>0$).
Guarda qui. Lui disegna il grafico come te lo aspetti tu, perchè lavora "di default" con funzioni da $CC$ in $CC$. Però poi, in basso, dice:
Properties as a real function (quindi proprietà di $f$ se considerata funzione reale)
e ti da il dominio corretto ($x>0$).
Chiarissimo! Grazie...
"gio73":
Ciao obi!
di fronte a una situazione come quella presentata da nitidoz io avrei ragionato così: traccio il grafico di lnx che conosco e poi la parte negativa l'avrei "specchiata" rispetto all'asse x, si osserva che è continua in (1;0), per quanto riguarda la derivabilità rispetto al punto (1;0) si vede subito che...
Ti pare corretto obi?
Sisi, è un grafico noto, di quelli da tatuare nel petto
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