Traccia di esonero

[passante.matteo]

Salve a tutti ragazzi, volevo sapere se qualcuno di voi riesce a risolvere questo problema:

Siano [tex]f:[0,1]→R[/tex] e [tex]g:[0,2]→R[/tex] funzioni continue tali che [tex]\int_{0}^{1} f(x)dx = \int_{0}^{2} g(x)dx = 1[/tex].
L’equazione [tex]f(x) = g(2x) + 1/2[/tex] ammette soluzione in [tex][0,1][/tex]?
(motivare brevemente la risposta)

Ho provato risolvere l'integrale di f(x)-g(2x), sperando sia uguale a x/2, ma sono bloccato a come svolgere il g(2x)... grazie in anticipo!

[Rigel1]

Può essere utile considerare la funzione
\[
h(x) = f(x) - g(2x) - 1/2, \qquad x\in[0,1].
\]
Prova a calcolare \(\int_0^1 h(x)\, dx\) e a usare il teorema della media integrale.

[passante.matteo]

L'integrale mi esce così:
[tex](1-g'(0)+g'(2))/2[/tex]

ma non so che farmene... e il teorema della media in un intervallo da 0 a 1 sembra non essere quello adatto...

[Rigel1]

"Pass98":L'integrale mi esce così:
[tex](1-g'(0)+g'(2))/2[/tex]

ma non so che farmene... e il teorema della media in un intervallo da 0 a 1 sembra non essere quello adatto...

Intanto, se \(g\) è una funzione continua (dunque, a priori, non necessariamente derivabile), non è chiaro chi siano \(g'(0)\) e \(g'(2)\).
L'integrale di \(h\) lo devi calcolare a partire dalle informazioni che hai sugli integrali di \(f\) e \(g\).
Una volta calcolato ti sarà chiaro perché ho citato il teorema della media integrale.