Traccia dell'Hessiana e Problemi di Ottimizzazione

[lordb]

Ciao a tutti,
non riesco a cogliere il legame tra la traccia dell'Hessiana e qualche eventuale condizionamento sulla presenza di estremanti relativi.
Ho provato a cercare una relazione con il criterio di Sylvester ma non ho trovato niente di interessante.

Voi ne sapete qualcosa ?

[lordb]

Up.

Dunque sicuramente se abbiamo una funzione $f:A->RR$, $AinRR^n$, $f in C^2_RR$ se $vec a$ è un estremante relativo in $A-Fr(A)$ allora:

$gradf (a) = vec 0$

Costruiamo l'Hessiana:

$H(vec a)=(((partial^2f)/(partialx_1^2)(a),...,...),(...,(partial^2f)/(partialx_2^2)(a),...),(...,...,...),(...,...,(partial^2f)/(partialx_n^2)(a)))$

Supponiamo che $vec a$ sia un punto di minimo relativo, allora per la caratterizzazione dell'Hessiana:

$1=sign((partial^2f)/(partialx_1^2)(a))=sign((partial^2f)/(partialx_2^2)(a))=.....=sign((partial^2f)/(partialx_n^2)(a))$

Tranquillamente dunque posso affermare che se $vec a$ è un punto di minimo relativo allora $Tr(H(vec a))>=0$.

Supponiamo che $vec a$ sia un punto di massimo relativo, allora:

$-1=sign((partial^2f)/(partialx_1^2)(a))=sign((partial^2f)/(partialx_2^2)(a))=.....=sign((partial^2f)/(partialx_n^2)(a))$

Dunque direi che se $vec a$ è un punto di massimo relativo allora $Tr(H(vec a))<=0$.

Tuttavia non è quello che mi serve, in particolare vorrei togliere quegli $=$ nelle disuguaglianze.

$H(vec a)>0 => Tr(H(vec(a)))>0 => vec a text{ punto di minimo relativo}$.

$H(vec a)<0 => Tr(H(vec(a)))<0 => vec a text{ punto di massimo relativo}$.

Posso dire altro? Se $vec a$ fosse un estremante assoluto avrei qualche condizione in più da sfruttare?

Grazie

[Sk_Anonymous]

Non puoi prescindere dal segno di uguaglianza. Voglio dire, sarebbe come se, nello studio delle funzioni di una sola variabile, si potesse affermare che l'esistenza di un minimo implichi la derivata seconda positiva. Sai benissimo che, se la derivata seconda è nulla, è necessario considerare le derivate successive. E nel corso di questa ulteriore analisi, potresti tranquillamente imbatterti in un minimo: $[y=x^4]$ per $[x=0]$.

[lordb]

Ciao, grazie per la risposta.

Infatti io non ho messo la co-implicazione $<=>$ ma solo l'implicazione $H(vec a)>0 => vec a text{ punto di minimo relativo}$.

[Sk_Anonymous]

Mi riferivo al seguente passaggio:

"lordb":
Dunque direi che se $[veca]$ è un punto di massimo relativo allora $Tr(H(vec a))<=0$. Tuttavia non è quello che mi serve, in particolare vorrei togliere quegli $=$ nelle disuguaglianze.

Per quanto rigurda il resto, se dopo la diagonalizzazione ti ritrovassi la seguente matrice:

$H=((4,0,0,0),(0,-1,0,0),(0,0,3,0),(0,0,0,-2))$

avresti una sella anche se il determinante e la traccia sono entrambi positivi.

[lordb]

Sì hai ragione,infatti anche io me ne ero accorto che non potevo direttamente togliere il simbolo di uguaglianza in quella formulazione, per toglierlo ho dovuto modificare la formulazione appunto.

Il mio libro di fisica II dice che la condizione necessaria affinchè funzioni di $n$ variabili abbiano un estremante relativo forte (??) sta nell'annullamento del gradiente e in più la traccia dell'Hessiana deve essere diversa da zero.


edit: ho modificato $H(vec a)>0<=>Tr(H (vec(a)))>0$ in $H(vec a)>0 => Tr(H(vec(a)))>0$

[Sk_Anonymous]

Se ho capito bene, al di là della condizione sul gradiente, il tuo libro sostiene che, in presenza di un estremante relativo forte, la traccia dell'Hessiana debba essere diversa da zero. Questa affermazione è equivalente a sostenere che, se la traccia è uguale a zero, allora si ha un estremante relativo debole oppure una sella. Se ipotizziamo che l'Hessiana non sia la matrice identicamente nulla, sono d'accordo. In questo caso infatti, dovendo l'Hessiana avere almeno un autovalore diverso da zero, dovrà necessariamente averne un altro di segno opposto, si ha una sella per intenderci, senza scomodare gli estremanti relativi deboli. Onestamente, non ricordo un caso in cui l'Hessiana sia la matrice identicamente nulla. Tuttavia, presumo possa esserci, se non mi sto perdendo qualcosa.

[lordb]

Dunque:

$gradf(vec a)=0=Tr(H(vec a)) => vec a text{ punto di sella}$ ?

[Sk_Anonymous]

Ammesso che la matrice Hessiana non sia identicamente nulla, non sia del tipo:

$H=((0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$

per intenderci, puoi senz'altro affermare che:

$[gradf(vec a)=0] ^^ [Tr(H(vec a))=0] => vec a text{ punto di sella}$

Del resto, avendo almeno due autovettori corrispondenti a due autovalori opposti, questi due autovettori identificano due direzioni lungo le quali la variazione della funzione, a patto di prendere spostamenti sufficientemente piccoli, assume essa stessa valori opposti. In soldoni, è come se lungo la direzione che corrisponde all'autovalore positivo, la restrizione della funzione avesse derivata seconda positiva, lungo la direzione che corrisponde all'autovalore negativo, la restrizione della funzione avesse derivata seconda negativa.

[lordb]

Ok perfetto, grazie mille