Tra Taylor, principio di sostituzione e grafico...
Salve a tutti, è il mio primo post in questo forum...vorrei descrivervi un dubbio alquanto bizzarro. Ho questa funzione:
$ (x - sin^2sqrt(x) - sin^2 x)/x^2 $
Facendo il limite per x che tende a 0, applicando la formula di Taylor, il limite mi esce -1/2; il che è strano, in quanto intuitivamente, con il principio di sostituzione, dovrebbe uscire -1 (a meno che non stia un compiendo un errore madornale di cui non mi sono accorto ancora). Ma non finisce qui! Perchè, utilizzando fooplot.com, traccio il grafico della funzione, e per x che tende a 0, f(x) assume valori tra -0.6 e -0.7. Avreste qualche delucidazione in merito? Grazie.
$ (x - sin^2sqrt(x) - sin^2 x)/x^2 $
Facendo il limite per x che tende a 0, applicando la formula di Taylor, il limite mi esce -1/2; il che è strano, in quanto intuitivamente, con il principio di sostituzione, dovrebbe uscire -1 (a meno che non stia un compiendo un errore madornale di cui non mi sono accorto ancora). Ma non finisce qui! Perchè, utilizzando fooplot.com, traccio il grafico della funzione, e per x che tende a 0, f(x) assume valori tra -0.6 e -0.7. Avreste qualche delucidazione in merito? Grazie.
Risposte
Posta i procedimenti che hai seguito. 
"Seneca":
Posta i procedimenti che hai seguito.
Per sviluppare $ sin^2 sqrt(x) $
$ f'(x) = 2 sin sqrt(x) cos sqrt(x) 1/(2 sqrt(x) = (sin 2 sqrt(x)) / (2 sqrt(x)) $
Per trovare f'(x0), faccio il limite della derivata per x che tende a x0.
Allo stesso modo per la f''(x), la quale dovrebbe essere:
$ f''(x) = ( (sin 2 sqrt(x))' 2 sqrt(x) - sin 2 sqrt(x) (2 sqrt x)' )/(2 sqrt(x))^2 = (2 sqrt(x) cos 2 sqrt(x) - sin 2 sqrt(x)) / (4x sqrt(x)) $
Il cui limite dovrebbe essere -1 (ho sostituito y=2 $sqrt(x) $ e mi sono ricondotto all'equivalenza tra $ 1 - cos y $ e $ y^2/2 $).
Seguendo questo ragionamento, il polinomio di Taylor (mi sono fermato al secondo grado perchè, essendoci $ x^2 $ al denominatore credo che sia sufficiente):
$ f(x) = x - x^2/2 + o(x^2)
Sviluppando $ sin^2(x) $ ho
$ f'(x) = 2 sin x cos x = sin 2x $
$ f''(x) = 2 cos 2x $
Quindi il polinomio dovrebbe essere
$ f(x) = x^2 + o(x^2) $
Sostituendo nella funzione originaria, è evidente che x e il primo addendo del primo seno si elidono, e rimangono quindi
$ (x^2/2 -x^2 -(o(x^2) + o(x^2)))/x^2
che dovrebbe essere -1/2.
Attento. La funzione radice quadrata non è derivabile in 0.
"Fioravante Patrone":
Attento. La funzione radice quadrata non è derivabile in 0.
Si, questo lo so, però ho applicato l'uguaglianza
$ f'(x0) = lim f'(x) $
per x che tende a x0, che sul mio libro viene riportata come relazione la cui condizione è che f sia derivabile in I\{x0} e continua in x0.
Ti consiglierei di ripassare un po' di analisi.
"Fioravante Patrone":
Ti consiglierei di ripassare un po' di analisi.
E per quale motivo?
Basta leggere i tuoi post.
"Fioravante Patrone":
Ti consiglierei di ripassare un po' di analisi.
Si, ecco, ora ho capito quello che volevi dire, e ho capito il mio errore idiota
Perdonate l'intrusione.
La radice quadrata, come giustamente osservava FP, non è derivabile in $0$, giusto; e questo mi impedisce di usare Taylor. Ma c'è un modo per by-passare questa spiacevole situazione o la non derivabilità ci frega tutto il giochino?
Il limite viene effettivamente con de l'Hopital, ma non mi va di usare 'sta strada (troppo battuta, non c'è gusto
).
Qui qual è la via più conveniente?
Grazie.
La radice quadrata, come giustamente osservava FP, non è derivabile in $0$, giusto; e questo mi impedisce di usare Taylor. Ma c'è un modo per by-passare questa spiacevole situazione o la non derivabilità ci frega tutto il giochino?
Il limite viene effettivamente con de l'Hopital, ma non mi va di usare 'sta strada (troppo battuta, non c'è gusto
).Qui qual è la via più conveniente?
Grazie.
"Paolo90":
Perdonate l'intrusione.
La radice quadrata, come giustamente osservava FP, non è derivabile in $0$, giusto; e questo mi impedisce di usare Taylor. Ma c'è un modo per by-passare questa spiacevole situazione o la non derivabilità ci frega tutto il giochino?
Il limite viene effettivamente con de l'Hopital, ma non mi va di usare 'sta strada (troppo battuta, non c'è gusto
Qui qual è la via più conveniente?
Grazie.
Si potrebbe a questo punto utilizzare il principio di sostituzione per $ sin^2(sqrt(x))$ e procedere con Taylor solo con l'ultimo addendo. Giusto?
"alberto1990":
Si potrebbe a questo punto utilizzare il principio di sostituzione per $ sin^2(sqrt(x))$ e procedere con Taylor solo con l'ultimo addendo. Giusto?
Ma non mi pare che questa strada porti molto lontano... ti resta un $o(x)$ dalla sostituzione $sinsqrtx=sqrtx+o(sqrtx)$ che ti "mangia" tutti i termini dello sviluppo dell'ultimo addendo...
Mi associo alla tua domanda, Paolo.
Inoltre ho notato la seguente cosa:
Lo sviluppo di MacLaurin di $sin^2(y)$ è $sin^2(y) = y^2 - y^4/3 + y^6/36 + o(y^6)$
Pongo $y = sqrt(x)$ ho che:
$sin^2(sqrt(x)) = | x | - x^2/3 + | x |^3/36 + o(|x|^3)$
e per $x -> 0^+$:
$sin^2(sqrt(x)) = x - x^2/3 + x^3/36 + o(x^3)$
Con questo sviluppo, il limite risulta proprio $-2/3$ (ho il riscontro con Derive).
Come si spiega, non essendo la funzione $sin^2(sqrt(x))$ soddisfacente le ipotesi del teorema di Taylor, che il limite venga giusto?
Inoltre ho notato la seguente cosa:
Lo sviluppo di MacLaurin di $sin^2(y)$ è $sin^2(y) = y^2 - y^4/3 + y^6/36 + o(y^6)$
Pongo $y = sqrt(x)$ ho che:
$sin^2(sqrt(x)) = | x | - x^2/3 + | x |^3/36 + o(|x|^3)$
e per $x -> 0^+$:
$sin^2(sqrt(x)) = x - x^2/3 + x^3/36 + o(x^3)$
Con questo sviluppo, il limite risulta proprio $-2/3$ (ho il riscontro con Derive).
Come si spiega, non essendo la funzione $sin^2(sqrt(x))$ soddisfacente le ipotesi del teorema di Taylor, che il limite venga giusto?
Grazie Seneca per il supporto. 
Temevo di fare una domanda banale, vedo però che non sono l'unico a essermi posto la questione; in effetti, avevo fatto i tuoi stessi conti ma non avevo poi terminato temendo che non andasse bene la sostituzione $y=sqrtx$.
Aspettiamo l'arrivo di qualcuno che chiarisca il tutto.
Per ora, grazie per l'intervento.
Temevo di fare una domanda banale, vedo però che non sono l'unico a essermi posto la questione; in effetti, avevo fatto i tuoi stessi conti ma non avevo poi terminato temendo che non andasse bene la sostituzione $y=sqrtx$.
Aspettiamo l'arrivo di qualcuno che chiarisca il tutto.
Per ora, grazie per l'intervento.
@Paolo: Taylor incute sempre un po' di sgomento. 
Credo che, essendo VERA questa:
$sin^2(y) = y^2 - y^4/3 + y^6/36 + o(y^6)$ $y -> 0$
è vera anche questa:
$sin^2(sqrt(x)) = | x | - x^2/3 + | x |^3/36 + o(|x|^3)$, $x -> 0$
Tuttavia il secondo membro è ben lontano dall'essere una funzione polinomiale.
Infatti io non sostituisco l'espansione di $sqrt(x)$ in $0$ (che, abbiamo detto, non è sviluppabile), ma sostituisco una funzione irrazionale. Poi è chiaro che se mi metto in un intorno destro dello $0$, sbarazzandosi dei valori assoluti, il secondo membro risulta un polinomio.
$sin^2(sqrt(x)) = x - x^2/3 + x^3/36 + o(x^3)$, per $x -> 0^+$
Ora i dubbi sono:
1) Quanto è corretta questa procedura?
2) Se è corretta, come si generalizza la questione?
Credo che, essendo VERA questa:
$sin^2(y) = y^2 - y^4/3 + y^6/36 + o(y^6)$ $y -> 0$
è vera anche questa:
$sin^2(sqrt(x)) = | x | - x^2/3 + | x |^3/36 + o(|x|^3)$, $x -> 0$
Tuttavia il secondo membro è ben lontano dall'essere una funzione polinomiale.
Infatti io non sostituisco l'espansione di $sqrt(x)$ in $0$ (che, abbiamo detto, non è sviluppabile), ma sostituisco una funzione irrazionale. Poi è chiaro che se mi metto in un intorno destro dello $0$, sbarazzandosi dei valori assoluti, il secondo membro risulta un polinomio.
$sin^2(sqrt(x)) = x - x^2/3 + x^3/36 + o(x^3)$, per $x -> 0^+$
Ora i dubbi sono:
1) Quanto è corretta questa procedura?
2) Se è corretta, come si generalizza la questione?
Aggiungo quest'altro esempio:
$lim_(x -> 0^+) sin(x)/(sqrt(1 - cos(x))) = sqrt(2)$
Con un po' di attenzione al segno della funzione, si può facilmente risolvere dividendo numeratore e denominatore per $x$.
Immaginiamo di volerlo risolvere utilizzando gli sviluppi di Taylor... Ebbene, ci si rende subito conto che la funzione $sqrt(1 - cos(x))$ non è derivabile nel punto $0$.
La funzione $cos(x)$, però, lo è. Quindi:
$cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^2)$
$1 - cos(x) = x^2/2 + o(x^2)$
$sqrt(1 - cos(x)) = sqrt(x^2/2 + o(x^2))$
$sqrt(1 - cos(x)) = sqrt(x^2/2 ( 1 + ( o(x^2))/(x^2/2)))$
$sqrt(1 - cos(x)) = |x|/sqrt(2) * sqrt( 1 + (o(x^2))/(x^2/2))$
Il limite quindi è:
$lim_(x -> 0^+) sqrt(2) * (x + o(x))/( |x|*sqrt( 1 + (o(x^2))/(x^2/2))) = lim_(x -> 0^+) sqrt(2) * 1/(sqrt( 1 + (o(x^2))/(x^2/2))) = sqrt(2)$
Magari la questione è banale, immediata.
$lim_(x -> 0^+) sin(x)/(sqrt(1 - cos(x))) = sqrt(2)$
Con un po' di attenzione al segno della funzione, si può facilmente risolvere dividendo numeratore e denominatore per $x$.
Immaginiamo di volerlo risolvere utilizzando gli sviluppi di Taylor... Ebbene, ci si rende subito conto che la funzione $sqrt(1 - cos(x))$ non è derivabile nel punto $0$.
La funzione $cos(x)$, però, lo è. Quindi:
$cos(x) = 1 - x^2/2 + o(x^2)$
$1 - cos(x) = x^2/2 + o(x^2)$
$sqrt(1 - cos(x)) = sqrt(x^2/2 + o(x^2))$
$sqrt(1 - cos(x)) = sqrt(x^2/2 ( 1 + ( o(x^2))/(x^2/2)))$
$sqrt(1 - cos(x)) = |x|/sqrt(2) * sqrt( 1 + (o(x^2))/(x^2/2))$
Il limite quindi è:
$lim_(x -> 0^+) sqrt(2) * (x + o(x))/( |x|*sqrt( 1 + (o(x^2))/(x^2/2))) = lim_(x -> 0^+) sqrt(2) * 1/(sqrt( 1 + (o(x^2))/(x^2/2))) = sqrt(2)$
Magari la questione è banale, immediata.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo