Totale limitatezza, relativa compattezza
Sia $(X,||.||)$ uno spazio di Banach.
Un sottoinsieme $A sub X$ è detto relativamente compatto se la chiusura $bar A$ di $A$ è compatta.
$A$ è detto totalmente limitato se $AA \epsilon >0, EE x_1, x_2, ..., x_N \in A$ tali che $A sub uuu_{i=1}^N B(x_i, \epsilon)$.
Dove per $x \in X, r>0$,l'insieme $B(x,r) :={y \in X | ||y-x||
-----
Per ora ho provato a dimostrare che relativamente compatto $\Rightarrow$ totalmente limitato
Supponiamo per assurdo che $EE \epsilon > 0 t.c. AA x_1,...,x_N \in A$ (un numero finito) $A !sub uuu_{i=1}^N B(x_i, \epsilon)$.
Sia $x_1 \in A sub bar A, A !sub B(x_1,\epsilon)$ quindi $EE x_2 \in A sub bar A ||x_2-x_1||>= \epsilon$.
$A !sub B(x_1,\epsilon) uu B(x_2,\epsilon) \Rightarrow EE x_3 \in A sub bar A$ tale che $||x_3-x_1||>= \epsilon, ||x_3-x_2||>= \epsilon$
Allora abbiamo costruito una successione $(x_i) \in A sub bar A$ tale che $||x_i-x_j||>\epsilon AA i != j $
Perciò non esiste una sottosuccessione convergente in $A sub bar A$ $\Rightarrow bar A$ non è compatto.
Ditemi se ho fatto confusione tra la compattezza di $A$ e di $bar A$.
Come dimostrare l'altra implicazione??
Un sottoinsieme $A sub X$ è detto relativamente compatto se la chiusura $bar A$ di $A$ è compatta.
$A$ è detto totalmente limitato se $AA \epsilon >0, EE x_1, x_2, ..., x_N \in A$ tali che $A sub uuu_{i=1}^N B(x_i, \epsilon)$.
Dove per $x \in X, r>0$,l'insieme $B(x,r) :={y \in X | ||y-x||
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Per ora ho provato a dimostrare che relativamente compatto $\Rightarrow$ totalmente limitato
Supponiamo per assurdo che $EE \epsilon > 0 t.c. AA x_1,...,x_N \in A$ (un numero finito) $A !sub uuu_{i=1}^N B(x_i, \epsilon)$.
Sia $x_1 \in A sub bar A, A !sub B(x_1,\epsilon)$ quindi $EE x_2 \in A sub bar A ||x_2-x_1||>= \epsilon$.
$A !sub B(x_1,\epsilon) uu B(x_2,\epsilon) \Rightarrow EE x_3 \in A sub bar A$ tale che $||x_3-x_1||>= \epsilon, ||x_3-x_2||>= \epsilon$
Allora abbiamo costruito una successione $(x_i) \in A sub bar A$ tale che $||x_i-x_j||>\epsilon AA i != j $
Perciò non esiste una sottosuccessione convergente in $A sub bar A$ $\Rightarrow bar A$ non è compatto.
Ditemi se ho fatto confusione tra la compattezza di $A$ e di $bar A$.
Come dimostrare l'altra implicazione??
Risposte
Domanda ingenua: ti è concesso di utilizzare il teorema che afferma che un sottoinsieme di uno spazio metrico è compatto se e solo se è completo e totalmente limitato?
Non conosco questo teorema, ma se può rendere questo esercizio più semplice (o se ne è la diretta conseguenza), posso provare a pensare prima a quanto mi hai detto.
Puoi in ogni caso darmi un aiuto?
Grazie! :)
Puoi in ogni caso darmi un aiuto?
Grazie! :)
Tenendo in considerazione quello che mi hai detto sono arrivata a questa conclusione:
$ bar A$ è compatto $\Leftrightarrow bar A$ è totalmente limitato e completo (ma la completezza deriva dal fatto che è un insieme chiuso di uno spazio di Banach).
Perciò $ bar A$ è compatto $\Leftrightarrow bar A$ è totalmente limitato.
In una direzione è semplice: $ bar A$ è compatto $\Rightarrow bar A$ è totalmente limitato $\Rightarrow A$ è totalmente limitato ($A sub bar A$).
Ora la cosa che credo sia difficile da dimostrare è che se $A$ è totalmente limitato in uno spazio di Banach allora anche $bar A$ è totalmente limitato.
Penso comunque che impostato così sia più semplice da dimostrare! Aspetto qualche consiglio e intanto rifletto!!
$ bar A$ è compatto $\Leftrightarrow bar A$ è totalmente limitato e completo (ma la completezza deriva dal fatto che è un insieme chiuso di uno spazio di Banach).
Perciò $ bar A$ è compatto $\Leftrightarrow bar A$ è totalmente limitato.
In una direzione è semplice: $ bar A$ è compatto $\Rightarrow bar A$ è totalmente limitato $\Rightarrow A$ è totalmente limitato ($A sub bar A$).
Ora la cosa che credo sia difficile da dimostrare è che se $A$ è totalmente limitato in uno spazio di Banach allora anche $bar A$ è totalmente limitato.
Penso comunque che impostato così sia più semplice da dimostrare! Aspetto qualche consiglio e intanto rifletto!!
Ciao! Mi spiace, ora sono di fretta, ma ho dato un'occhiata al problema e effettivamente mi sembra che basti mostrare quello che dici qui:
E se non ricordo male non dovrebbe essere difficile.
"blunotte":
Ora la cosa che credo sia difficile da dimostrare è che se $A$ è totalmente limitato in uno spazio di Banach allora anche $bar A$ è totalmente limitato.
E se non ricordo male non dovrebbe essere difficile.
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