Topologia indotta nella metrica
Ciao, sto studiando metodi matematici dellla fisica, avrei diverse perplessità:
citando il libro:Un insieme $S$ contenuto in $M$ (dove M è uno spazio metrico) si dirà totalmente limitato se ad esso si può associare un epsilon reticolo finito,cioè un insieme finito di punti$X={x1,x2,xn}$tale che per ogni $x$ che appartiene ad $S$ si abbia $d(x,xj)<\epsilon$ per qualche xj che appartiene ad $X$.ora.. l'insieme dei punti $X$non deve appartenere necessariamente ad $S$ ma basta che appartenga ad $M$?
seconda domanda.. come si legge questo simbolo $M^(1)subM$ ?dovrebbe essere $M^(1)$ contenuto in $M$?
terza ed ultima domanda, riporto quanto è scritto nel libro:Siamo ora in grado di definire cosa si intende per limite di una successione di vettori di uno spazio lineare metrico:data una successione $x^(n)$, essa converge a un elemento x che appartiene a M detto limite della successione se il limite per n che tende a infinito di $d(x^(n),x)=0$.Il libro non riiporta esempi quindi ho provato ad inventarne uno:
Sia $x=(1;1)$ e sia $x^(n)=(1+1/n;1+1/n)$, posso dire in questo caso che $x^(n)$ converge a $x$?
citando il libro:Un insieme $S$ contenuto in $M$ (dove M è uno spazio metrico) si dirà totalmente limitato se ad esso si può associare un epsilon reticolo finito,cioè un insieme finito di punti$X={x1,x2,xn}$tale che per ogni $x$ che appartiene ad $S$ si abbia $d(x,xj)<\epsilon$ per qualche xj che appartiene ad $X$.ora.. l'insieme dei punti $X$non deve appartenere necessariamente ad $S$ ma basta che appartenga ad $M$?
seconda domanda.. come si legge questo simbolo $M^(1)subM$ ?dovrebbe essere $M^(1)$ contenuto in $M$?
terza ed ultima domanda, riporto quanto è scritto nel libro:Siamo ora in grado di definire cosa si intende per limite di una successione di vettori di uno spazio lineare metrico:data una successione $x^(n)$, essa converge a un elemento x che appartiene a M detto limite della successione se il limite per n che tende a infinito di $d(x^(n),x)=0$.Il libro non riiporta esempi quindi ho provato ad inventarne uno:
Sia $x=(1;1)$ e sia $x^(n)=(1+1/n;1+1/n)$, posso dire in questo caso che $x^(n)$ converge a $x$?
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"baldo89":
[...]Un insieme $S$ contenuto in $M$ (dove M è uno spazio metrico) si dirà totalmente limitato se ad esso si può associare un epsilon reticolo finito,cioè un insieme finito di punti$X={x1,x2,xn}$tale che per ogni $x$ che appartiene ad $S$ si abbia $d(x,xj)<\epsilon$ per qualche xj che appartiene ad $X$.ora.. l'insieme dei punti $X$non deve appartenere necessariamente ad $S$ ma basta che appartenga ad $M$?
Sì, l'$\epsilon$-rete è un sottoinsieme di M
La parentesi rossa l'ho aggiunta io, senza di essa la frase non aveva molto senso, penso sia questo il motivo per il quale tu non abbia ricevuto risposta fino ad ora
"baldo89":
seconda domanda.. come si legge questo simbolo $M^(1)subM$ ?dovrebbe essere $M^(1)$ contenuto in $M$?
Sì, in matematica $\subset$ sta ad indicare l'inclusione, salvo altri utilizzi
"baldo89":
[...]
Sia $x=(1;1)$ e sia $x^(n)=(1+1/n;1+1/n)$, posso dire in questo caso che $x^(n)$ converge a $x$?
Qui la risposta da darti è "dati insufficienti". Mi dovresti dire in quale mondo vivi ( in quale spazio vettoriale) e la distanza che hai su questo mondo
.Se lavori in $(\mathbb{R}^2, d)$ dove per ogni $x= (x_1, x_2), y=(y_1, y_2)\in \mathbb{R}^2$ la distanza è $d(x, y) = \sqrt((x_1-y_1)^2+ (x_2-y_2)^2)$ allora l'esempio è azzeccato
.Consiglio: d'ora in poi, tieni a mente lo spazio metrico in cui lavori e soprattutto tieni sott'occhio la metrica che definisci sullo spazio.
Buon anno
[Edit] Dovresti dire che la topologia è indotta dalla metrica e non nella metrica
grazie mille e buon anno anche a te
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