Topologia di uno SM
Sia \(\displaystyle (X,d) \) uno spazio metrico e sia \(\displaystyle A \subset X \) un insieme. Provare che:
i) L'interno \(\displaystyle \mbox{int}(A) \) è un insieme aperto, ed è il più grande insieme aperto contenuto in \(\displaystyle A \);
ii) La chiusura \(\displaystyle \bar{A} \) è un insieme chiuso ed è il più piccolo insieme chiuso che contiene \(\displaystyle A \).
Inizio dalla prima affermazione.
Per provare che \(\displaystyle \mbox{int}(A) \) è un insieme aperto devo provare che \(\displaystyle \mbox{int}(A)=\mbox{int}(\mbox{int}(A)) \).
Si ha \(\displaystyle \mbox{int}(A) \supseteq \mbox{int}(\mbox{int}(A)) \) per definizione di interno.
Sia ora \(\displaystyle x \in \mbox{int}(A) \); questo implica che \(\displaystyle \exists \; r>0 \) t.c. \(\displaystyle B_{r}(x) \subseteq A \). A questo punto dovrei poter scegliere un \(\displaystyle s
Quanto alla seconda parte dell'affermazione i, pensavo di sbrogliarla con una reductio ad absurdum:
sia \(\displaystyle B \) un aperto t.c. \(\displaystyle \mbox{int}(A) \subseteq B \subseteq A\); questo significa che \(\displaystyle \exists \ y \) punto interno t.c. \(\displaystyle y \in B \) e \(\displaystyle y \notin \mbox{int}(A) \). Ma per definizione di interno, \(\displaystyle y \) deve appartenere ad \(\displaystyle \mbox{int}(A) \) in quanto insieme di tutti i punti interni di \(\displaystyle A \), da cui dev'essere \(\displaystyle B=\mbox{int}(A) \).
Possono andare?
Risposte
Trascorse le giuste 24 ore, riporto in alto.
Quali definizioni di aperto, chiuso, interno ed esterno sono usate nel libro? Io uso solo la definizione di interno e il fatto che un aperto è unione di palle aperte o equivalentemente che le palle aperte sono una base della topologia.
In particolare l'interno di \(\displaystyle A \) è aperto perché è unione di palle aperte. Basta infatti prendere una palla aperta sufficientemente piccola per ogni elemento dell'interno e, per definizione di interno, sai che è interamente contenuta in \(\displaystyle \mathrm{int}A \). Siccome un insieme è aperto se è unione di palle aperte allora sai che \(\displaystyle \mathrm{int} A \) è aperto.
Per dimostrare che è il più piccolo supponi per assurdo che esista \(\displaystyle B \) aperto tale che \(\displaystyle \mathrm{int} A \subset B \subset A \). Allora esisterà un \(\displaystyle b\in B-\mathrm{int}A \). Per definizione di aperto allora esisterà una palla aperta centrata in \(\displaystyle b \) interamente contenuta in \(\displaystyle B \) ma allora è interamente contenuta in \(\displaystyle A \) e quindi \(\displaystyle b\in \mathrm{int} A \) per definizione di punto interno (questa è esattamente la tua tranne qualche differenza di forma).
Per il secondo punto puoi dimostrare che il complementare è un aperto. Che è il più piccolo è facile.
In particolare l'interno di \(\displaystyle A \) è aperto perché è unione di palle aperte. Basta infatti prendere una palla aperta sufficientemente piccola per ogni elemento dell'interno e, per definizione di interno, sai che è interamente contenuta in \(\displaystyle \mathrm{int}A \). Siccome un insieme è aperto se è unione di palle aperte allora sai che \(\displaystyle \mathrm{int} A \) è aperto.
Per dimostrare che è il più piccolo supponi per assurdo che esista \(\displaystyle B \) aperto tale che \(\displaystyle \mathrm{int} A \subset B \subset A \). Allora esisterà un \(\displaystyle b\in B-\mathrm{int}A \). Per definizione di aperto allora esisterà una palla aperta centrata in \(\displaystyle b \) interamente contenuta in \(\displaystyle B \) ma allora è interamente contenuta in \(\displaystyle A \) e quindi \(\displaystyle b\in \mathrm{int} A \) per definizione di punto interno (questa è esattamente la tua tranne qualche differenza di forma).
Per il secondo punto puoi dimostrare che il complementare è un aperto. Che è il più piccolo è facile.
Grazie vict, non avevo visto questa tua risposta.
Quindi per provare che \(\displaystyle \overline{A} \) è chiuso dovrei provare che \(\displaystyle X \setminus \overline{A} \) è aperto?
Vediamo... Sia \(\displaystyle x \in X \setminus \overline{A} \); allora \(\displaystyle x \) non appartiene alla chiusura di \(\displaystyle A \), e pertanto esiste \(\displaystyle \delta > 0 \) t.c. \(\displaystyle B_{\delta}(x) \cap A = \emptyset \). Ora, se \(\displaystyle y \in B_{\delta}(x) \), \(\displaystyle y \) non appartiene alla chiusura di \(\displaystyle A \). Pertanto \(\displaystyle y \in X \setminus \overline{A} \). Ne segue che \(\displaystyle B_{\delta}(x) \subset X \setminus \overline{A} \).
Sia poi \(\displaystyle B \) un insieme chiuso tale che \(\displaystyle A \subset B \); allora \(\displaystyle (X \setminus B)\cap A = \emptyset \). Ne segue che \(\displaystyle \nexists \ x \in X \setminus B \) t.c. \(\displaystyle x \in \overline{A} \).
Quindi dev'essere \(\displaystyle \overline{A} \subset B \).
Potrebbe andare?
EDIT: ho fatto un'aggiunta perché mi è venuta un'idea su come provare che la seconda parte della seconda proposizione.
Quindi per provare che \(\displaystyle \overline{A} \) è chiuso dovrei provare che \(\displaystyle X \setminus \overline{A} \) è aperto?
Vediamo... Sia \(\displaystyle x \in X \setminus \overline{A} \); allora \(\displaystyle x \) non appartiene alla chiusura di \(\displaystyle A \), e pertanto esiste \(\displaystyle \delta > 0 \) t.c. \(\displaystyle B_{\delta}(x) \cap A = \emptyset \). Ora, se \(\displaystyle y \in B_{\delta}(x) \), \(\displaystyle y \) non appartiene alla chiusura di \(\displaystyle A \). Pertanto \(\displaystyle y \in X \setminus \overline{A} \). Ne segue che \(\displaystyle B_{\delta}(x) \subset X \setminus \overline{A} \).
Sia poi \(\displaystyle B \) un insieme chiuso tale che \(\displaystyle A \subset B \); allora \(\displaystyle (X \setminus B)\cap A = \emptyset \). Ne segue che \(\displaystyle \nexists \ x \in X \setminus B \) t.c. \(\displaystyle x \in \overline{A} \).
Quindi dev'essere \(\displaystyle \overline{A} \subset B \).
Potrebbe andare?
EDIT: ho fatto un'aggiunta perché mi è venuta un'idea su come provare che la seconda parte della seconda proposizione.
Una volta (per modo di dire) ero convinto di quanto ho scritto qui sopra... Ora non lo sono più molto.
Qualcuno ha voglia di dare un'occhiata?
Qualcuno ha voglia di dare un'occhiata?
Sono un po' provato dall'influenza, ma vediamo...
Perché questo?
"Delirium":
Grazie vict, non avevo visto questa tua risposta.
Quindi per provare che \(\displaystyle \overline{A} \) è chiuso dovrei provare che \(\displaystyle X \setminus \overline{A} \) è aperto?
Vediamo... Sia \(\displaystyle x \in X \setminus \overline{A} \); allora \(\displaystyle x \) non appartiene alla chiusura di \(\displaystyle A \), e pertanto esiste \(\displaystyle \delta > 0 \) t.c. \(\displaystyle B_{\delta}(x) \cap A = \emptyset \). Ora, se \(\displaystyle y \in B_{\delta}(x) \), \(\displaystyle y \) non appartiene alla chiusura di \(\displaystyle A \). Pertanto \(\displaystyle y \in X \setminus \overline{A} \). Ne segue che \(\displaystyle B_{\delta}(x) \subset X \setminus \overline{A} \).
Perché questo?
Inoltre, se non mi è sfuggito, nei post precedenti non hai specificato quale definizione consideri di chiusura di un insieme.
Quella che avevo studiato io è "$bar A$ è l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $A$", e da questa è ovvio che $bar A$ è un insieme chiuso...
Quella che avevo studiato io è "$bar A$ è l'intersezione di tutti i chiusi che contengono $A$", e da questa è ovvio che $bar A$ è un insieme chiuso...
A lezione abbiamo definito la chiusura di un insieme \(\displaystyle A \) semplicemente come l'insieme di tutti i punti di chiusura di \(\displaystyle A \).
Avevo frettolosamente letto ed evidentemente mal assimilato quanto scritto [url=https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:qhuHlc1QlhsJ:science.kennesaw.edu/~plaval/math4381/openclosed.pdf+closure+is+a+closed+set+proof&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESiZGnZc3yg3FD1kUbHsTS89QXzOKh1_DmtHWVuCTbqLmiOpCw0NW7L18WF3HfSwdPzsRW3Y7hKMWmHDFIwjAqzAg-fq5RhN6GCrkKGWpTS-A11lDGS6vYpV-1H81DvmGNWANvob&sig=AHIEtbRdrqAUrT3kjtuVRCaV634nJucNHg]qui (pag. 92, prop. 3 - caso unidimensionale)[/url]. In particolare devo aver frainteso il significato della frase "If \(\displaystyle y \in (x- \delta,x+\delta) \) then \(\displaystyle y \) cannot be close to \(\displaystyle S \) [...]".
Grazie mille per la disponibilità Seneca.
Avevo frettolosamente letto ed evidentemente mal assimilato quanto scritto [url=https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:qhuHlc1QlhsJ:science.kennesaw.edu/~plaval/math4381/openclosed.pdf+closure+is+a+closed+set+proof&hl=it&gl=it&pid=bl&srcid=ADGEESiZGnZc3yg3FD1kUbHsTS89QXzOKh1_DmtHWVuCTbqLmiOpCw0NW7L18WF3HfSwdPzsRW3Y7hKMWmHDFIwjAqzAg-fq5RhN6GCrkKGWpTS-A11lDGS6vYpV-1H81DvmGNWANvob&sig=AHIEtbRdrqAUrT3kjtuVRCaV634nJucNHg]qui (pag. 92, prop. 3 - caso unidimensionale)[/url]. In particolare devo aver frainteso il significato della frase "If \(\displaystyle y \in (x- \delta,x+\delta) \) then \(\displaystyle y \) cannot be close to \(\displaystyle S \) [...]".
Grazie mille per la disponibilità Seneca.
Non volevo sottolineare un errore quanto un passaggio da chiarire (è vero quanto hai scritto). Sembra anche a te necessario?
Saluti.
Saluti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo